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toma*ro5

Invité

trace matrices

Bonjour
A un ensemble de nombre réels, B l'ensemble des matrices de taille nxn a coefficients dans A
Comment prouver $\sum_{ m \in B} tr(m^2) = \sum_{ m \in B} (tr(m))^2$
je pensais trigonaliser les matrices dans C mais ça ne donne rien
Cordialement

jeanpierre 78

Invité

Re : trace matrices

Important A est un ensemble fini de réels

Michel Coste

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Re : trace matrices

Bonjour,

Ça se fait assez bien en mettant les mains dans le cambouis et en exprimant les deux sommes au moyen des coefficients [tex]m(i,j)[/tex].
À un moment il convient d'intervertir les sommes sur [tex]m[/tex] et les sommes sur les indices [tex]i,j[/tex].
Retrousse-toi les manches et vas-y !

Dernière modification par Michel Coste (12-09-2023 09:58:23)

toma*ro6

Invité

Re : trace matrices

A gauche $\sum_{m \in B} (c(1,1)+...+c(n,n)) =\sum_{m \in B} \sum_{k=1}^{n} m(i,k)m(k,i)$
A droite $\sum_{m \in B} (m(1,1)+...+m(n,n)p) ^2$
que dois-je intervertir ?

Michel Coste

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Re : trace matrices

Tu as oublié l'indice i dans ta première ligne.
Tu as oublié de développer dans la deuxième (avec les indices i,k (si tu préfères k à j).
Tu verras alors des sommes sur m et des sommes sur i,k.

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

Je reprends
À gauche $G=\sum_{m \in A} \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}m_{ik}m_{ki}=\sum_{ m \in A}(\sum_{i=1}^{n} m_{ii}^2+2\sum_{1\leq i<k\leq n}m_{ik}m_{ki}$
À droite $D=\sum_{m \in A} (\sum_{i=1}^{n}m_{ii})^2 =\sum_{m \in A} (\sum_{i=1}^{n} m_{ii}^2 +2\sum_{1\leq i<j\leq n}m_{ii}m_{jj})$
je ne vois pourquoi

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

je ne vois pourquoi c’est égale ?

Michel Coste

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Re : trace matrices

Bien, tu as progressé.
Deux petites choses :
1) [tex]m[/tex] n'est pas un élément de [tex]A[/tex], mais un élément de [tex]B[/tex] que tu as défini dans ton premier message.
2) Pourquoi avoir des indices [tex]k[/tex] dans [tex]G[/tex] et des indices [tex]j[/tex] dans [tex]D[/tex] ? Bien sûr ce sont des variables muettes, mais il vaut mieux prendre la même lettre vu que notre but est de montrer l'égalité.
Tu peux constater que les deux expressions ont un morceau qui est le même. Reste à voir pour l'autre morceau. Il est utile de se souvenir de ce que j'écrivais plus haut :

À un moment il convient d'intervertir les sommes sur [tex]m[/tex] et les sommes sur les indices [tex]i,j[/tex].

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

Bonjour Michel
Je pose
$g=\sum_{m\in B} \sum_{1\leq i<k<leq n}m(i,k)m(k,i)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\sum_{m\in B}m(i,j)m(j,i)$
$d=\sum_{m\in B}\sum_{1\leq i<j\leq n}m(i,i)m(j,j)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\sum_{m\in B}m(i,i)m(j,j)$
le fait que c’est m(i,j)m(j,i) et m(i,i)m(j,j) ça me gêne. Comment voir que c’est égal ?

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

Ce qui me gêne pour comprendre que g et d sont égaux dans une somme c’est m(i,j)m(j,i) dans l’autre c’est m(i,i)m(j,j) ?

Fred

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Re : trace matrices

Bonjour,

  C'est à ce moment que tu dois utiliser la structure de ton ensemble $B$ : il s'agit de toutes les matrices (de taille $n\times n$) à coefficients dans $A.$ Ta somme $\sum_{m\in B},$ on peut l'écrire comme $n^2$ sommes imbriquées :
$$\sum_{m(1,1)\in A}\sum_{m_(1,2)\in A}\cdots \sum_{m_(n,n)\in A}m(i,j)m(j,i).$$
On peut très nettement simplifier cela. Sur ces $n^2$ sommes, il y en a deux qui sont particulières : celles faisant intervenir $m(i,j)$ et $m(j,i)$. Pour les autres, on ne fait une somme que sur des termes constants.
Pourrais-tu donc remplacer mes $n^2$ sommes ci-dessus par simplement 2 sommes????

Indice : si tu veux commencer par plus facile, mais la démarche est la même, comment écrire avec une seule somme
$\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N} u_n$ ?

F.

PS : Peut-être que Michel donnera une explication plus claire que la mienne!

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

Fred parmi toutes des ces sommes je trouve deux sont les mêmes à savoir les sommes sur m(i,j) et m(j,i) le coefficient obtenu sur les autres sommes est $card(A)^{n^2-n}$ si je ne me suis pas trompé

Fred

Administrateur

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Re : trace matrices

Plutôt $\textrm{card}(A)^{n^2-2}$. Qu'obtiens-tu alors? Peux-tu faire la même chose avec l'autre somme?

toma*ro7

Invité

Re : trace matrices

Chers tous,
En suivant vos multiples indications g je trouve $n(n-1)/2*(a(1)+...+a(t))^2*(card(A))^{n^2-2}$ où $a(1),...,a(t)$ sont les éléments de A, si je n'ai pas fait de fautes

Michel Coste

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Re : trace matrices

Une autre façon de voir les choses.
Où en est-on ? On a fixé $i<j$, et on veut montrer que $$\sum_{m\in B} m(i,i)\times m(j,j) = \sum_{m\in B} m(i,j)\times m(j,i)\;.$$On sait qu'on peut reparamétrer une somme au moyen d'une bijection de l'ensemble d'indices sur lui-même, autrement dit une permutation de l'ensemble d'indices : si $\sigma$ est une permutation de $B$, alors $$\sum_{m\in B} m(i,i)\times m(j,j) = \sum_{m\in B} \sigma(m)(i,i)\times \sigma(m)(i,j)\;.$$
L'idée serait alors de trouver une permutation $\sigma$ de l'ensemble $B$ des matrices à coefficients dans $A$ telle que, pour tout $m\in B$,  $\sigma(m)(i,i)=m(i,j)$ et $\sigma(m)(j,j)=m(j,i)$. Est-ce difficile ? On s'intéresse uniquement aux quatre coefficients aux emplacements
$$\begin{array}{ccc} (i,i)&\cdots &(i,j)\\\vdots&&\vdots\\(j,i)&\cdots&(j,j)\end{array}$$et on cherche un $\sigma$ qui bidouille ces quatre emplacements-là.