Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cédrix

Membre

Inscription : 15-08-2019

Messages : 77

Propositions et prédicats

Bonjour,
en logique classique niveau BTS, je ne comprends pas la table de vérité de l'implication.
Je comprends que si P est vrai et si Q est vrai alors P => Q est vrai.
Et je comprends que si P est vrai et si Q n'est pas vrai alors P => Q n'est pas vrai.
(P vrai implique nécessairement Q vrai).
Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi si P n'est pas vrai et que Q est vrai, P => Q est vrai !
Idem pour P n'est pas vrai et Q n'est pas vrai, pourquoi P=>Q est vrai !?
Je n'arrive pas à y trouver un sens.
Merci pour votre aide !
C.

Glozi

Invité

Re : Propositions et prédicats

Bonjour,
Une manière de comprendre cela est de réfléchir à comment prouver qu'un orateur qui dit "$P\Rightarrow Q$" a tort. (en gros on regarde la négation de $P\Rightarrow Q$).
Il y a une seule manière de procéder, il faut montrer que $P$ est vraie mais que pourtant $Q$ est fausse. Dans aucun des autres cas la personne n'a véritablement menti...

Notons qu'en mathématiques :
On raisonne souvent de la manière suivante :
On prouve $P$ et on prouve $P\Rightarrow Q$, on en déduit que $Q$ est vraie.
Ex : $P$ : "L'être Socrate est un homme", $P\Rightarrow Q$ : "si un être est un homme alors cet être est mortel" on déduit $Q$ : "L'être Socrate est mortel".

On ne procède PAS de la manière suivante :
On prouve $P$ et on prouve $Q$, on en déduit que $P\Rightarrow Q$ est vraie.
Ex : $P$ : "la Terre tourne autour du soleil", $Q$ : "Platon est le disciple de Socrate". Il est connu que $P$ et $Q$ sont vraies mais on ne va pas s'amuser à conclure que $P\Rightarrow Q$ : "la Terre tourne autour du soleil donc Platon est le disciple de Socrate" et encore moins $Q\Rightarrow P$ : "Platon est le disciple de Socrate donc la Terre tourne autour du soleil". (un peu de bon sens enfin !)

Bonne journée

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Propositions et prédicats

Bonsoir,

Moi, je rajouterai que si P est fausse alors P implique tout.

Par exemple, si la proposition P : "1=0" était vraie alors on pourrait affirmer que "je suis un cheval bleu".

Comme P est fausse, il n'y a pas de contradiction... (pour information, je ne suis pas un cheval bleu, mais tu ne pouvais pas le déduire de ce qui était écrit avant).

Roro.

Amade75

Membre

Inscription : 14-07-2022

Messages : 20

Re : Propositions et prédicats

Bonsoir ! Moi quand je faisais ma licence 1 pour comprendre cette implication j'ai dû penser ainsi.
Mensonges implique Vérité donc vrai.
Exemple disons que je n'ai aucune nouvelle de Lisa depuis des années et que mon ami me demande est-ce que Lisa est venu rendre visite à tes parents  et que je réponds par oui juste en mentens. Arrivée à la maison mes parents disent que Lisa est nous rendre visite. Tu vois j'ai menti mais celà s'avère que c'est vrai.
Mensonges implique mensonges. À toi de trouver un exemple.
En mentant on peut tomber sur le mensonge.
En mentant on peut aussi tomber sur la vérité.
En disant la vérité on ne peut jamais tomber sur un mensonge.
J'espère que cela t'aidera à mieux comprendre.

Je maîtrise pas bien le français.

Dernière modification par Amade75 (10-09-2023 20:40:53)

jean-émile

Membre

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Messages : 4

Re : Propositions et prédicats

"p implique q" signifie "non(p) ou q"

Zebulor

Membre expert

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Re : Propositions et prédicats

Bonjour,

en résumé je verrais les choses comme suit :

P => Q signifie que si P est vraie, alors Q l'est obligatoirement, systématiquement, faute de quoi P => Q n'est pas vraie.

Il peut sembler étrange que P => Q soit toujours vraie quand P est fausse. Autant prendre un exemple mathématique dans ce forum de maths : 

"Pour tout $x \in  \mathbb R$, si x est un entier naturel(P), alors x est positif(Q) » est toujours vraie :
Elle est du type vrai => vrai lorsque $x$ est un entier naturel,  et pour tenter de répondre au problème de Cedrix,

Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi si P n'est pas vrai et que Q est vrai, P => Q est vrai !
Idem pour P n'est pas vrai et Q n'est pas vrai, pourquoi P=>Q est vrai !?

elle du type :
1) faux => vrai quand $x$ est un réel positif qui n 'est pas un entier naturel
2) faux => faux quand $x$ est un réel strictement négatif.

P => Q ne signifie pas que la proposition P est la cause de la proposition Q. L'implication n'est pas synonyme de lien de causalité, en témoigne les exemples des posts précédents

Dernière modification par Zebulor (11-09-2023 12:27:23)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

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Messages : 1 903

Re : Propositions et prédicats

Bonjour ,

Par exemple "il pleut" alors "la chaussée est mouillée"
Est synonyme de "il ne pleut pas" ou "la chaussée est mouillée".

On est juste sûr que s'il pleut, la chaussée est mouillée.
Sinon on est bien content et on ne s'intéresse pas à l' état de la route ( sec , mouillée par l'arrosage mal réglé du champ voisin ou une pluie récente...tout est possible).

Le "ou" permet de voir aussi qu' aucune causalité n'entre en jeu
entre les deux assertions, contrairement aux apparences.

La contraposée lui est équivalente, elle revient in fine à échanger les choses vis à vis du "ou":
"La chaussée est mouillée" ou "il ne pleut pas".
Nécessairement le sec implique l'absence de pluie.
Et c'est tout.

A.

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Propositions et prédicats

Bonjour,
Un petit exercice classique qui peut aider à la compréhension du fonctionnement de l'implication en mathématiques.
Quatre cartes sont posées sur la table. Chacune de ces cartes a une lettre d'un côté et un nombre de l'autre. Les faces visibles des quatre cartes montrent : E, 17, X, 8.
Alice dit : "pour toute carte sur la table, s'il y a un nombre pair d'un côté alors il y a une consonne de l'autre".
Quel est le nombre minimum de cartes que Bob doit retourner pour savoir si Alices a raison, et lesquelles ?