Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Juju3

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Probabilités

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour un exercice, voici l'énoncé :

Dans une urne sont placées deux boules, une noire et une rouge. On effectue une suite de tirage selon les modalités suivantes :
* si la boule tirée est noire, on ne le remet pas dans l'urne (et donc la boule rouge sera nécessairement tirée au tirage suivant)
* si la boule tirée est rouge, on remet l'urne dans son état initial
Pour n ∈ N∗, on note alors Nn (et respectivement Rn), l'événement "la n-ième boule tirée est noire" (respectivement rouge)
On note an = P(Nn) et bn = P(Rn)

1. On note an = P(Nn) et bn = P(Rn) pour n ∈ N∗

(a) Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn

(b) Soit Un = (an) ∈ M2,1(R). Proposer M ∈ M2(R) telle que ∀n∈N, Un+1 = MUn
                    (bn)     

(c) Calculer Un et proposer une expression de bn et de an en fonction de n.

Pour la question a) j'ai trouvé : an+1 = 1/2bn ; bn+1 = 1/2bn + an
Pour la question b), j'ai trouvé : M = (0    1/2)
                                                      (1    1/2)
Pour la question c), je n'ai pas réussi à calculer Un, j'ai essayé de multiplier par la matrice M^(-1) : M^(-1) Un+1 = M Un M^(-1), sauf que je retombe sur Un = (an), donc que Un = Un.
                               (bn)

Pourriez-vous m'aider à calculer Un s'il vous plaît ? Merci d'avance !

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Bonsoir,
À mon avis, l'idée est de calculer les puissances $M^n$ (en diagonalisant la matrice $M$ par exemple) pour ensuite utiliser la formule $U_{n}= M^{n-1}U_1$.
Bonne soirée

Juju3

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Re : Probabilités

D'accord, merci pour votre réponse, je vais essayer de faire ça ! :)

Juju3

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Re : Probabilités

Bonjour,

J'ai une autre question concernant ce même exercice.

Voici l'énoncé : On note maintenant Zn le nombre de boules noires tirées lors des n premiers tirages.

a) Montrer à l'aide du résultat du premier tirage que pour k∈N, P(Zn+1=k) = 1/2P(Zn=k) + 1/2P(Zn-1=k-1)

Pour cette question j'ai réussi à le montrer.

Mais ensuite je dois en déduire que E(Zn+1)=1/2E(Zn) + 1/2E(Zn-1) + 1/2

Voilà ce que j'ai fait :

E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [kP(Zn+1=k)]
E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [k (1/2P(Zn=k) + 1/2P(Zn-1=k-1))]
E(Zn+1) = somme de k=0 à n de [1/2kP(Zn=k)] + somme de k=0 à n de [1/2kP(Zn-1=k-1)]
E(Zn+1) = 1/2(somme de k=0 à n de [kP(Zn=k)] + 1/2 (somme de k=0 à n de [kP(Zn-1=k-1)])
E(Zn+1) = 1/2E(Zn) + 1/2E(Zn-1)

Mais je ne vois pas d'où sort le dernier 1/2... Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Bonsoir,
Dans $\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k-1)$, déjà on peut enlever l'indice $k=0$.
Ensuite pourquoi est-ce que cette quantité serait égale à $\mathbb{E}[Z_{n-1}]$ ?

Bonne soirée

Juju3

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Re : Probabilités

Bonjour,

J'ai dit que cette quantité était égale à E(Zn-1) parce que c'est la formule de l'espérance non ?

Glozi

Invité

Re : Probabilités

Non,
Par définition de l'espérance (puisque $Z_{n-1}$ est à valeur dans $\mathbb{N}$) on a :
$\mathbb{E}[Z_{n-1}]=\sum_{k=1}^\infty k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k)$.
Toi tu as l'expression $\sum_{k=1}^\infty k\mathbb{P}(Z_{n-1}=k-1)$
Ce n'est pas la même chose.
Pour avancer le calcul, je te conseille de faire un changement d'indice dans ta somme.
Bonne journée