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Henderson

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Preuve caractérisation de suites adjacentes

Bonjour tous le monde
, j'ai un soucis dans une preuve de suites adjacentes , la preuve revient à considérer une suite Wn= Un -Vn ,le problème c'est que je trouve des difficultés pour montrer que cette suite est négative à partir d'un certain rang, j'ai deux démonstrations , mais je sais pas laquelle est vraie de ces deux et celle qui est fausse.
La première:
https://drive.google.com/file/d/1HFGfjV … p=drivesdk
La deuxième:
https://drive.google.com/file/d/1HLH2z7 … p=drivesdk

Merci .

Dernière modification par Henderson (02-09-2023 16:58:53)

Fred

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Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Bonjour

  La deuxième preuve est correcte mais il faut éviter le terme "géométriquement". On peut démontrer cette propriété en revenant à la définition de la limite d'une suite.

F.

Henderson

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Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Pourquoi il faut éviter le terme "géométriquement" dans la première ?

Et quant à la deuxième ??

Dernière modification par Henderson (03-09-2023 11:37:27)

Fred

Administrateur

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Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Parce que "géométriquement" n'est pas une démonstration, cela manque de rigueur.
La première preuve est rigoureuse, si on sait que l'on peut passer à la limite dans une inégalité.

F.

Henderson

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Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Je donne une demonstration que j'ai fait avec la définition de la limite :
Soit Un une suite croissante qui tend vers 0 , soit e>0 il existe N de IN tel que pour tout n>=N
|Un|=<e
Donc pour tout e>0 il existe N de IN tel que pour tout n>=N Un=<e
On tendre e vers 0 on obtient pour tout n>=N Un=<0 , on a montré qu a partir du terme UN tous les termes sont négatifs
On pose M=max{U0,U1,..,UN-1}
M=Up tel que p de {0,....,N-1}
Un est croissante donc Up=<UN
Donc Up=<0 car UN=<0
Donc M=<0
Donc pour tout i de {0,..,N-1} Ui=<0
D ou pour tout n de IN Un=<0

Avec e = epsilon.
Est-ce que vous pouvez me donner votre avis pour cette démonstration ??

Dernière modification par Henderson (03-09-2023 20:34:08)

Glozi

Invité

Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Bonsoir,
Attention tu ne peux pas faire tendre $\varepsilon$ vers $0$ comme tu le fais car ton $N$ dépend de $\varepsilon$.
Ce que tu avait fait dans ta preuve 1 était pourtant pas mal : si $n\in \mathbb{N}$ est fixé alors pour tout $k\geq 0$ on a $u_{n}\leq u_{n+k}$, ce qui donne $u_n\leq 0$ en passant à la limite en $k \to \infty$.
Sinon autre idée de preuve : par l'absurde supposons qu'il existe $n$ tel que $u_n>0$ etc...
Bonne soirée

Henderson

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Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Bonsoir,
Et si ce epsilon dépend de N , pourquoi on peut pas le tendre vers 0 ? Où est le problème ??

Merci.

Glozi

Invité

Re : Preuve caractérisation de suites adjacentes

Je n'ai pas dit que $\varepsilon$ dépend de $N$, j'ai dit que $N$ dépend de $\varepsilon$
Exemple $u_n=1/2^n$,
alors pour tout $\varepsilon>0$ il existe $N\geq 0$ tel que si $n\geq N$ on ait $u_n \leq \varepsilon$.
Pourtant on n'a jamais $u_n \leq 0$ (pour aucun $n$) (on ne peut donc pas passer à la limite $\varepsilon\to 0$).
Évidemment dans ce contre exemple, $(u_n)_n$ n'est pas croissante, (c'est donc qu'il faut utiliser l'hypothèse de croissance quelque part).