Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Faenzar

Membre

Inscription : 02-09-2023

Messages : 2

Problème de caractérisation de suprémum

Bonjour,

Après avoir bien cherché, je reste bloqué sur un problème de caractérisation de sup.

J'ai la fonction suivante :

$$f_n : x \mapsto n(1-x)^n \sin{\dfrac{\pi x}{2}}$$

Et on définit $x_n$ comme suit :
$$f_n(x_n) = \sup_{[0,1]} f_n$$

Le but est de montrer qu'il est caractérisé par $\tan{\dfrac{\pi x_n}{2}} = \dfrac{\pi}{2n}(1 - x_n)$

En dérivant et en posant l'équation en 0, on trouve rapidement ce résultat.

Mon problème est que ce n'est que l'impliquation direct, et pour moi montrer qu'on est caractérisé revient à montrer une équivalence, et je ne vois pas comment montrer qu'il ne s'agit pas d'un point de dérivée nulle quelconque, mais bien d'un supremum.

J'ai essayé avec des arguments de convexité et de faire tendre les limites en ce point, mais je n'arrive à rien. Si l'un.e d'entre vous aurait une indication  ?

En vous remerciant

Glozi

Invité

Re : Problème de caractérisation de suprémum

Bonjour,

Et on définit $x_n$ comme suit :
$$f_n(x_n)=\sup_{[0,1]}f_n$$

Déjà il y a un petit problème qui est caché : il faut montrer que cette définition fait bien sens (car sinon $x_n$) ne sera pas bien défini.
Puisque $f_n$ est continue sur le segment $[0,1]$ elle y atteint ses bornes, et donc il existe au moins un point $x\in [0,1]$ tel que $f_n(x) = \sup_{[0,1]}f_n(x)$.
Tu as calculé $f_n'(x)$ et tu as constaté qu'il y a un unique point $x_n\in ]0,1[$ qui vérifie $f_n'(x_n)=0$.
Considérons un point $x\in [0,1]$ qui réalise le maximum. Il y a trois possibilités : $x=0$ ou $x=1$ ou $f_n'(x)=0$. Clairement $x=0$ et $x=1$ ne conviennent pas (sauf pour $n=0$). Pour $n\geq 1$, on a forcément $f_n'(x)=0$ et donc $x=x_n$.
Ainsi le supremum est bien atteint en un unique point et ce point est le seul dans $[0,1]$ qui vérifie l'équation que tu as annoncée.
Ceci montre à la fois la bonne définition de $x_n$ et la propriété voulue.

Bonne journée

Faenzar

Membre

Inscription : 02-09-2023

Messages : 2

Re : Problème de caractérisation de suprémum

Re-Bonjour,

Merci beaucoup ! Je comprends mieux ! Néanmoins, je ne vois pas comment est prouvé l'unicité, à priori le théorème des valeurs intermédiaires nous donne au moins un point, pourquoi est-il unique ?

Ce que j'ai trouvé comme solution serait en définissant :

$$ g : x \mapsto \tan{\dfrac{\pi x}{2}} + \dfrac{\pi}{2n}x - \dfrac{\pi}{2n}$$

Fonction qui en la dérivant me donne :

$$ g' : x \mapsto \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2}\tan^2{\dfrac{\pi x}{2}} > 0$$

Et étant strictement positive, $g$ est donc strictement croissante, ie injective, de fait, on a bien une unique solution ?

Merci encore pour vos explications

Dernière modification par Faenzar (02-09-2023 16:21:36)

Glozi

Invité

Re : Problème de caractérisation de suprémum

Tu as pour $0<x<1, f_n'(x)=n(1-x)^{n-1}(\pi/2(1-x)\cos(x\pi/2)-n\sin(x\pi/2))=n^2(1-x)^{n-1}\cos(x\pi/2)g(x)$
où $g(x)=\frac{\pi}{2n}(1-x)-\tan(x\pi/2)$
Puisque pour $0<x<1$ on a $n^2(1-x)^{n-1}\cos(x\pi/2) > 0$, alors $f_n'$ est du signe de $g$.
Maintenant une étude de $g$ montre que $g$ est $\textbf{strictement}$ monotone et s'annule exactement une fois sur $]0,1[$ en un point qu'on appelle $x_n$.
Ainsi, $f_n'$ est strictement positive sur $]0,x_n[$ et strictement négative sur $]x_n,1[$ donc $f_n$ est strictement croissante sur $[0,x_n]$ et strictement décroissante sur $[x_n,1]$.

Fraenzar

Invité

Re : Problème de caractérisation de suprémum

Bonjour,

Merci beaucoup, je comprends enfin ce qu'il faut faire !

Bonne journée à vous.