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Dr_Piradians

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Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonjour. Mon livre parle de l'équation différentielle $(E)$  $ay''+by'+cy=g(x)$ avec $a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0$.
Il traite du cas où $g(x)$ est de la forme $g(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(P_1(x)\cos(\beta x)+P_2(x)\sin(\beta x))$, où $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ et $P_1,P_2\in\mathbb{R}[X]$.
Mon livre dit qu'une solution particulière de $(E)$ est de la forme $y_0(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x))$ si $\alpha+i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique $ar^2+br+c=0$ associée à l'équation $(E_0)$   $ay''+by'+cy=0$ avec $y(x)=\mathrm{e}^{rx}$.
$Q_1$ et $Q_2$ sont deux polynômes de degré $n=\text{max}\{\text{deg}P_1,\text{deg}P_2\}$.

D'après ce qui est dit ci-dessus, si on remplace $y$ par $y_0$ dans l'équation $(E)$, on est censé obtenir un $Q_1(x)$ et un $Q_2(x)$ qui sont multipliés par des facteurs non-nuls, et de plus il ne faut pas que la somme des termes contenant $Q_1(x)$ avec les termes contenant $Q_2(x)$ produise un polynôme de degré inférieur à $n$.

J'ai essayé de démontrer qu'on obtient des $Q_1(x)$ et des $Q_2(x)$ qui sont multipliés par des facteurs non nuls (car mon livre balance le résultat de $y_0$ sans prendre la peine de le démontrer, il faut donc que je le démontre).
Je n'ai pas réussi à le démontrer, mais j'ai commencé à faire des calculs. J'ai d'abord remplacé $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)$ puis j'ai fait des seconds calculs en remplaçant $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)$

En remplaçant $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)$, le membre $ay''+by'+cy$ devient
$c\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+b(\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1'(x)\cos(\beta x)-\beta Q_1(x)\sin(\beta x)))+a(\alpha^2\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1(x)\cos(\beta x)+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1'(x)\cos(\beta x)+Q_1(x)(-\beta)\sin(\beta x))+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_1'(x)\cos(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1''(x)\cos(\beta x)+Q_1'(x)(-\beta)\sin(\beta x))-\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}\beta Q_1(x)\sin(\beta x)-\mathrm{e}^{\alpha x}(\beta Q_1'(x)\sin(\beta x)+\beta^2\cos(\beta x)Q_1(x)))$

Je divise les membres de l'équation par $\mathrm{e}^{\alpha x}$, et le terme contenant $Q_1(x)$ dans le membre de gauche est
$Q_1(x)(c\cos(\beta x)+b(\alpha\cos(\beta x)-\beta\sin(\beta x))+a(\alpha^2\cos(\beta x)-2\alpha\beta\sin(\beta x)-\beta^2\cos(\beta x)))$
$Q_1(x)(c\cos(\beta x)+b(-\beta\sin(\beta x))+a(-\beta^2\cos(\beta x))+b\alpha\cos(\beta x)+a(-2\alpha\beta\sin(\beta x)+\alpha^2\cos(\beta x)))$
On sait que $c\cos(\beta x)+b(-\beta\sin(\beta x))+a(-\beta^2\cos(\beta x))$ est différent de $0$ car $\alpha+i\beta$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique associée à $(E_0)$ et donc $\cos(\beta x)$ n'est pas solution de $(E_0)$.
Mais je n'arrive pas à démontrer que le facteur de $Q_1(x)$ est différent de $0$.

Pour le second calcul, en remplaçant $y$ par $Q_2(x)\sin(\beta x)$ on obtient
$c\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+b(\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x)))+a(\alpha^2\mathrm{e}^{\alpha x}Q_2(x)\sin(\beta x)+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x))+\alpha\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2'(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2(x)\cos(\beta x))+\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_2''(x)\sin(\beta x)+\beta Q_2'(x)\cos(\beta x)\beta Q_2'(x)\cos(\beta x)-\beta^2Q_2(x)\sin(\beta x)))$
Je divise les membres de l'équation par $\mathrm{e}^{\alpha x}$, et le terme contenant $Q_2(x)$ dans le membre de gauche est
$Q_2(x)(c\sin(\beta x)+b(\alpha\sin(\beta x)+\beta\cos(\beta x))+a(\alpha^2\sin(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)-\beta^2\sin(\beta x)))$
$Q_2(x)(c\sin(\beta x)+b\beta\cos(\beta x)-a\beta^2\sin(\beta x)+b\alpha\sin(\beta x)+a(\alpha^2\sin(\beta x)+2\alpha\beta\cos(\beta x)))$
On sait comme précédemment que $c\sin(\beta x)+b\beta\cos(\beta x)-a\beta^2\sin(\beta x)$ est différent de $0$. Mais on ignore si tout le facteur est différent de $0$.

Commment fait-on pour démontrer que les facteurs de $Q_1(x)$ et $Q_2(x)$ sont différents de $0$ et comment démontre-t-on que la somme des termes contenant les $Q_1(x)$ et les $Q_2(x)$ ne donne pas un polynôme de degré inférieur à n ?

Dr_Piradians

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Je me rends compte que les formules qui dépassent du cadre de la fenêtre de forum ne sont tout simplement pas visibles et il n'y a pas moyen de faire défiler la fenêtre. Ce site est mal conçu.

Roro

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonjour,

Tu as écris beaucoup de texte et c'est difficile de comprendre ta question !!!

En fait, j'ai l'impression que tu essayes de savoir quand est ce qu'on peut trouver une solution particulière $y_0$ à l'équation (E) sous la forme
$$y_0(x) = \mathrm e^{\alpha x} \big( Q_1(x) \cos (\beta x) + Q_2(x) \sin(\beta x) \big)$$

Comme tu le dis, tu as
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad ay_0''+by_0'+cy_0=g$$

En utilisant la forme particulière de $y_0$, tu peux continuer par équivalence jusqu'à
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} & P_1 = mQ_1 + n Q_2 \\ & P_2 = -nQ_1 +m Q_2 \end{aligned}\right.$$
où $m$ et $n$ sont deux coefficients dépendant de $a$, $b$, $c$, $\alpha$ et $\beta$ (que je te laisse trouver).

Ainsi, lorsque $m$ ou $n$ est non nul (ce qui correspond exactement à ta condition $\alpha + \mathrm i \beta$ n'est pas racine de l'équation caractéristique) alors tu peux résoudre le système de façon unique :
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} & Q_1 = \frac{1}{m^2+n^2} (m P_1 - n P_2) \\ & Q_2 = \frac{1}{m^2+n^2} (nP_1 +m P_2) \end{aligned}\right.$$
ce qui devrait répondre à tes questions.

Roro.

P.S. Je pense qu'il est délicat d'affirmer que ce site est mal conçu !
Lorsque tu tapes une formule en Latex, et que cette formule est trop longue, ton compilateur t'indique une erreur... ici c'est pareil : il faut mettre ta formule sur plusieurs lignes.

Dernière modification par Roro (28-08-2023 11:48:41)

Dr_Piradians

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Ben non ma question c'est pas du tout ça. C'est comment on sait que lorsqu'on remplace $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2\sin(\beta x))$ dans l'équation $ay''+by'+cy=g(x)$, on aura les $Q_1(x)$ et les $Q_2(x)$ qui auront des facteurs non nuls.

Roro

Membre expert

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonsoir,

Je ne vois pas ce que tu appelles "facteurs" de $Q_1$ et $Q_2$ dans l'expression $\mathrm e^{\alpha x} \big( Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x) \big)$ !

Ce que je t'ai montré c'est que $Q_1$ et $Q_2$ sont déterminés de façon unique à l'aide de ton équation (E).

Roro.

Glozi

Invité

Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonsoir,
Prenons $a=1,b=1,c=1$ et $g(x)=x\cos(x)$ (ie $\alpha=0, \beta=1$ avec $P_1(x)=x$ et $P_2(x)=0$).
L'équation est $y''(x)+y'(x)+y(x)=x\cos(x).$

Une solution particulière est $y_0(x) = (x-2)\sin(x)+\cos(x)$
Ainsi $Q_1(x)=1$ et $Q_2(x)=x-2$

Pourtant, seul $Q_2$ est de degré $n=\max(deg(P_1),deg(P_2))=1.$
En fait, les équations de Roro montrent qu'au moins l'un des deux $Q_1$ et $Q_2$ sera de degré exactement $n$.

PS : je me permets de te dire que je trouve un peu abrupt(e) avec tes formules "le site est mal conçu." et "Ben non ma question c'est pas du tout ça"...
Bonne soirée

Dr_Piradians

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Les facteurs de $Q_1$ et $Q_2$ c'est l'expression contenant les $a,b,c,\alpha$ et $\beta$ qui multiplie $Q_1$ ou $Q_2$. Contrairement à ce que tu dis, je ne parle pas de l'expression $\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x))$ mais de l'expression $ay''+by'+cy$ dans laquelle on remplace $y$ par $\mathrm{e}^{\alpha x}(Q_1(x)\cos(\beta x)+Q_2(x)\sin(\beta x))$.

Dernière modification par Dr_Piradians (29-08-2023 09:01:39)

Roro

Membre expert

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonjour,

Bon, je crois qu'on a du mal à se comprendre donc je vais m'arrêter là car je n'arrive pas à savoir ce que tu veux...
J'ai essayé de te donner des pistes en tentant de deviner ce que tu voulais mais ça n'a pas l'air de te convenir.

Pour revenir sur les termes que tu emploies : tu évoques les facteurs de $Q_1$ qui est un polynôme. Pour moi, la définition d'un facteur d'un polynôme $Q$ est assez claire. C'est un autre polynôme $R$ qui divise $Q$. Ce n'est pas une expression qui multiplie $Q$ !!!

Roro.

Dr_Piradians

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

donc au final tu as compris de quoi je parlais. Il s'agit de l'expression qui multiplie $Q_1$ et $Q_2$. Comment être sûr que cette expression n'est pas nulle ?

Black Jack

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Bonjour,

Avec une solution particulière : [tex] y(x) = e^{\alpha x} *  (Q_1(x).cos(\beta.x) + Q_2(x).sin(\beta x))[/tex]

On obtient le système (aux distractions près)  :

[tex]P1(x) = Q_1(x).(a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c) + Q_2(x).(2.a.\alpha . \beta + b.\beta) + Q_1'(x).(a.\alpha + b) + a\beta.Q_2'(x)[/tex] (1)

[tex]P2(x) = - Q_1(x).(2.a.\alpha . \beta + b.\beta) + Q_2(x).(a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c) - a\beta.Q_1'(x) + Q_2'(x).(a.\alpha + b) [/tex] (2)

Si [tex]\alpha \neq \frac{-b}{2a}[/tex], alors [tex]2.a.\alpha . \beta + b.\beta \neq 0[/tex] (car [tex]\beta[/tex], n'est pas nul (sinon le second membre de l'équation de départ n'est pas sinusoïdal)

Si [tex]\beta = \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}[/tex] alors [tex]a.\alpha ^2 - a.\beta ^2 + b.\alpha + c = \frac{(b-2a.\alpha )^2}{4a}[/tex] ce qui implique [tex]\alpha = \frac{-b}{2a}[/tex]

Ce qui conduit à :

Si [tex]\alpha + i\beta[/tex] n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors on ne peut pas avoir les coefficients de Q1(x) et Q2(x) nuls dans (1) et (2)

... et donc Q1(x) et/ou Q2(x) doivent être de degré n = max{degP1, degP2}

Rien relu.

Dernière modification par Black Jack (30-08-2023 13:19:54)

Dr_Piradians

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Re : Des solutions de $ay''+by'+cy=g(x)$

Merci.