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rdenis

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Équivalent original

Bonjour,
Je bloque sur cet exercice, je ne sais pas comment le démarrer :

Soit [tex]f[/tex] une fonction continue de [tex]\mathbf{R}_+[/tex] dans [tex]\mathbf{R}_+[/tex] et soit [tex]p\in\mathbf{N}^*[/tex].
On admet l'existence et l'unicité de la suite [tex](a_n)_{n\in\mathbf{N}^*}[/tex] de réels strictement positifs telle que

[tex]\forall n\in\mathbf{N}^*, \int_{0}^{a_n} \sqrt[n]{1+f(t)} \, \mathrm{d}t=\frac{1}{n^p}.[/tex]

Déterminer un équivalent lorsque [tex]n[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex] de [tex]a_n[/tex].

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci !

Roro

Membre expert

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Re : Équivalent original

Salut,

Sachant que $f$ est continue, tu dois pouvoir encadrer $f(t)$ lorsque $0<t<a_n$.

En intégrant tu devrais en déduire un encadrement de $\int_0^{a_n} \sqrt[n]{1+f(t)} \mathrm dt = \frac{1}{n^p}$.

Si tu sais (je n'ai pas tout regardé...) que $a_n$ tend vers $0$, je pense qu'en passant à la limite tu auras l'équivalent que tu cherches.

J'ai l'impression que ça ressemble à
$$a_n \sim \frac{1}{n^p \sqrt[n]{1+f(0)}}.$$

Roro.

P.S. J'ai regardé rapidement, et il est possible que tout ça ne marche pas du tout !

Dernière modification par Roro (26-08-2023 17:30:47)