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Aklouud

Invité

Approximation affine à droite/à gauche

Bonjour,
Supposons qu'on a une fonction dérivable en un point a, la fonction approximation nous aide à trouver la valeur approchée pour un point proche de a .
Mais supposons qu'on a un point non dérivable en a , mais dérivable à gauche et à droite ,donc, comment faire ?
Est-ce qu'on a une fonction approximation à droite et une autre à gauche dans ce cas ? Par exemple si un point b proche de a à droite à droite, comme exemple. Donc , comment faire ???

Merci pour vos aides je suis bloqué dans un exo .

Aklouud

Bernard-maths

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Re : Approximation affine à droite/à gauche

Bonjour Aklouud !

Personnellement, je ne vois aucun lien pratique entre une approximation de fonction et une approximation de la dérivée ...

Peux tu proposer ton exercice ?

B-m

Black Jack

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Re : Approximation affine à droite/à gauche

Bonjour Aklouud !

Personnellement, je ne vois aucun lien pratique entre une approximation de fonction et une approximation de la dérivée ...

Peux tu proposer ton exercice ?

B-m

Bonjour,

Je pense qu'il s'agit de la notion d'approximation affine, ce qui n'est pas clairement écrit dans la question.

Voila alors ce dont il s'agit :

En mathématiques, une approximation affine est une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'une fonction affine.

[tex]f(x) \simeq f(a) + f'(a)*(x-a)[/tex] est l'approximation affine de f(x) au visage de f(a)

****
Exemple simple:

f(x) = 3x³.ln(x) + x²

On veut, par exemple unne approximation affine de f(x) au voisinage de x = 2.

f '(x) = 9x².ln(x) + 3x² + 2x

f(2) = 24.ln(2) + 4
f'(2) = 36.ln(2) + 16

Aux alentours de x = 2, on a l'approximation affine :

[tex]f(x) \simeq 24.ln(2) + 4 + (36.ln(2) + 16) * (x - 2)[/tex]

[tex]f(x) \simeq (36.ln(2) + 16).x - 48.ln(2) - 28 [/tex]
'''''''''''''''

Dans l'exercice ci dessus, il n'y a pas de difficultés pour une approximation affine de f(x) aux alentours de x = 2 (ou autre valeur > 0 si on veut)

La question, est me semble-t-il celle-ci :

Si la fonction f(x) n'a pas la même valeur de dérivée à gauche et à droite du point aux alentours duquel on désire faire l'approximation affine ... que peut-on faire ?

bridgslam

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Re : Approximation affine à droite/à gauche

Bonjour,

Une idée peut être d'appuyer simultanément une fonction dérivable sur chacun des points pris respectivement sur chaque droite affine tangente, par exemple ayant un rayon de courbure calculé selon les deux points choisis ( près du point anguleux).
Localement la fonction obtenue ne devrait pas s'éloigner beaucoup de la fonction donnée.
Mais la valeur au point considéré a changé, ce qui n'est pas forcément un problème selon ce qu'on veut faire...

A.

Black Jack

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Re : Approximation affine à droite/à gauche

Bonjour,

Je pencherais pour quelque chose comme suit, avec par exemple :

f(x) = |x^2-4| + 1
Approximation(s) affine(s) aux alentours de x = 2

Les dérivées de f(x) à gauche et à droite de 2 sont différentes.

Près de x = +2-, f(x) = 4-x² + 1 = 5-x²
f'(x) = -2x

lim(x--> +2-) f(x) = 1
lim(x--> +2-) f'(x) = -4

Approx affine de f(x) à gauche de 2 : [tex]f(x) \simeq 1 - 4(x - 2) [/tex]
[tex]f(x) \simeq -4x + 9 [/tex]
''''''''
Près de x = +2+, f(x) = x² - 4 + 1 = x² - 3
f'(x) = 2x

lim(x--> +2+) f(x) = 1
lim(x--> +2+) f'(x) = 4

Approx affine de f(x) à droite de 2 : [tex]f(x) \simeq 4x - 7 [/tex]

''''''''''

Et donc, on aurait :

Approx affine de f(x) = |x^2-4| + 1 à gauche de 2 : [tex]f(x) \simeq -4x + 9 [/tex]
Approx affine de f(x) = |x^2-4| + 1 à droite de 2 : [tex]f(x) \simeq 4x - 7 [/tex]