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sofiene04

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Théorème de Lagrange

Bonjour, je faisais l'exercice suivant : (exercice 11 du site sur les groupes).
Soit (G,⋅) un groupe fini et H un sous-groupe de G.

1)Montrer que pour tout a∈G, H et aH={ah; h∈H} ont le même nombre d'éléments.
Soient a,b∈G
2)Démontrer que aH=bH ou aH∩bH=∅
3)En déduire que le cardinal de H divise le cardinal de G.

Pour répondre à la première question j'ai donc cherché à montrer que la fonction f qui à h associe ah est une bijection de H dans aH. Cependant si a=0, f n'est plus une bijection, or il n'est pas indiqué explicitement que 0 n'appartient pas à G.
J'ai alors plusieurs questions: Doit on considérer G comme un groupe munit de la multiplication d'où le . comme l-c-i, ce qui alors enlève 0 de manière naturelle à G puisque non inversible par la multiplication ? Mais dans ce cas le théorème de Lagrange est il vrai pour (G,+) ? Est ce l'exercice qui utilise un cheminement de démonstration "simple mais incomplet" ou juste moi qui n'est pas compris ?
Merci d'avance pour vos réponses.

Gui82

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Re : Théorème de Lagrange

Bonjour,

Le plus souvent, la loi de composition interne d'un groupe est notée multiplicativement, mais rien n'interdit de la noter additivement, ou encore avec d'autres symboles comme [tex]*[/tex]
Ici, je pense que tu confonds avec la structure d'anneau. Dans un groupe, tout élément admet un inverse, on le note souvent [tex]1[/tex] dans le cas d'une loi notée multiplicativement, [tex]0[/tex] dans le cas d'une loi notée additivement, ou [tex]e[/tex] dans le cas général avec une loi notée autrement (par exemple [tex]*[/tex])

sofiene04

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Re : Théorème de Lagrange

Bonsoir merci pour votre réponse.
Quand vous parlez de 1,0 et e c'est bien de l'élément neutre et non des inverses ?
J'ai compris là où étais ma confusion, en effet en considérant ./x et + non pas comme la multiplication et l'addition "classique" mais comme une notation de l-c-i quelconque cela règle mon problème.
Merci pour votre aide, bonne soirée.

Gui82

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Re : Théorème de Lagrange

Oui, c'est bien l'élément neutre. On note de façon générale [tex]e[/tex] le neutre d'un groupe [tex](G,*)[/tex].
Par exemple, [tex]0[/tex] est le neutre de [tex](\mathbb{Z},+)[/tex], [tex]1[/tex] est le neutre de [tex](\mathbb{C}^*,.)[/tex], [tex]id[/tex] est le neutre de [tex](\mathfrak{S}_n,\circ)[/tex], ...