Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Gmmaria

Invité

Regularité

Bonjour je veux prouver que si  u appartient à  $H^{1}(\Omega)$ où$\Omega$ is ouvert borne régulier de $R^{n}$ alors$\nabla u^{+}=\chi_{u>0}\nabla u $ ici$u^{+} =sup(0,u)$

Indication est de considérer la suite $\eta_{\epsilon}(u)=.\sqrt{\epsilon^{2}+ u^{2}}-\epsilon$ if $u\ge 0$ et égal à $0$ si $u\le 0$ then $\eta_{\epsilon}(u)$ convege vers  $u^{+}$ dans$L^{2}(\Omega)$

Et $\nabla \eta_{\epsilon}(u)$ converge vers $\chi_{u>0}\nabla u$ in $L^{2}(\Omega)$
En effet on a:

$\lvert \eta_{\epsilon}(u)\rvert \le \vert u\rvert $ because $\sqrt{\epsilon^{2}+ u^{2}}\le \vert u+ \epsilon \rvert$  donc$\eta_{\epsilon}(u)$ converge vers$u^{+}$dans
$L^{2}(\Omega)$
And  $\lvert \nabla \eta_{\epsilon}(u)\rvert \le \lvert \nabla u\rvert $
Et on achève la démonstration puisque la convergence dans L2 implique convergence au sens des distributions
imais je sens que la preuve manque quelque chose si vous pouvez m'aider
Merci