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Raddown

Invité

Analyse complexe - calcul de résidu

Bonjour,

J'ai un exercice d'analyse complexe qui consiste à trouver les singularités de la fonction complexe f(z)=e^(1/(z-1)).
J'ai trouvé que c'était une singularité essentielle en z=1.

La partie qui se compliqué pour moi, c'est lorsque l'on demande de calculer le résidu de la fonction g(z) = z*e^(1/(z-1)) en sa singularité.

J'ai essayé deux méthodes, une en écrivant la fonction g(z) comme (z-1)*exp + exp, puis en prenant le développement en série de l'exponentielle et je trouve un résidu de 3/2 (1/2 pour le terme a_-1 de la première exponentielle et 1 pour la seconde).
En utilisant une seconde méthode, en utilisant un regroupement en un seul terme de l'exponentielle, j'obtiens un résidu de 2.
Ai-je fait une erreur quelque part, dans un de mes méthodes ou les deux ?

Merci de votre aide

Michel Coste

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Re : Analyse complexe - calcul de résidu

Bonjour,
Je ne comprends pas ta deuxième méthode. Peux-tu mieux expliquer ?

Raddown

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Re : Analyse complexe - calcul de résidu

J'ai exprimé  (z-1)*exp + exp comme leur développement en série ( (z-1)*somme de i=0 à l'infini de (z-1)^-i / i! + somme de i=0 à l'infini de (z-1)^-i / i!).

j'ai ensuite fait rentré le terme (z-1) dans le premier développement de l'exponentielle, donc on trouve somme de i=0 à l'infini de (z-1)^(-i+1) / i!, en faisant un rapide changement d'indice (-i' = -i+1 ), on trouve :

somme de i'=1 à l'infini de (z-1)^-i' / i'! + somme de i'=0 à l'infini de (z-1)^-i'/ i'!.

Si on remet le seconde dév. de l'exponentielle à partir de 1, on trouve :

somme de i'=1 à l'infini de (z-1)^-i' / i'! + somme de i'=1 à l'infini de (z-1)^-i'/ i'!  + 1.

Au final, on a : g(z) = 1  + 2* somme de i'=1 à l'infini de (z-1)^-i'/ i'!

Je pense que c'est correcte de faire comme cela

Michel Coste

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Re : Analyse complexe - calcul de résidu

À mon avis tu t'emmêles un peu les pinceaux.
En posant [tex]u=z-1[/tex], on trouve
[tex](u+1)\sum_{i=0}^\infty \dfrac1{i!\,u^i}=u+2+\dfrac3{2u}+\dfrac2{3u^2}+\cdots[/tex]

Raddown

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Re : Analyse complexe - calcul de résidu

Probablement ...

Mais du coup, j'ai compris mon erreur.

Merci beaucoup de votre temps !

Michel Coste

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Re : Analyse complexe - calcul de résidu

Avec plaisir.