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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 03-08-2023 09:49:31
- Bivalve
- Membre
- Inscription : 12-01-2023
- Messages : 66
Propriété polynôme minimal et endomorphisme diagonalisable.
Bonjour,
Je voulais juste savoir si la propriété suivante est vraie avant d'essayer de la prouver :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∊ L(E). f est diagonalisable et Sp(f) = { λ1, …, λd }
⇔ μf(X) = (X-λ1) … (X-λd).
( μf est le polynome minimal de f )
Je vous remercie d'avance de vos retours.
Dernière modification par Bivalve (03-08-2023 09:50:02)
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#2 04-08-2023 17:37:39
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Propriété polynôme minimal et endomorphisme diagonalisable.
Bonjour,
Je crois que ça dépend de K.
C'est un peu loin tout ça mais je pense que oui si le polynôme caractéristique n'a que des facteurs irréductibles du premier degré.
D'une part le polynôme minimal a les même facteurs irréductibles que le polynôme caractéristique.
Si celui-ci est scindé ( par exemple si K est le corps des complexes) et que f est diagonalisable,
si on pose $u = \sum_{i=1}^{d} \alpha_i u_i$ (décomposition sur une base de vecteurs propres (avec $f(u_i) = \lambda_i u_i$ ) alors
$\mu (u) = 0$ donc comme il est unitaire c'est bien le polynôme minimal ( annulateur de f et de degré minimum et de coeff dominant 1).
A.
Dernière modification par bridgslam (04-08-2023 17:38:25)
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#4 06-08-2023 10:54:40
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 473
Re : Propriété polynôme minimal et endomorphisme diagonalisable.
Bonjour,
Ça ne dépend pas du corps de base. On a toujours l'équivalence :
1) f est diagonalisable
2) le polynôme minimal de f est scindé à racines simples
3) f a un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Quand ces propriétés sont vérifiées, les valeurs propres de f sont les racines de son polynôme minimal.
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#6 17-08-2023 16:00:21
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Propriété polynôme minimal et endomorphisme diagonalisable.
Bonsoir,
Merci pour la rectification.
Quand ces propriétés sont vérifiées, les valeurs propres de f sont les racines de son polynôme minimal.
Je crois que ce point-là est vrai, par ailleurs, que f soit diagonalisable ou pas:
$\lambda$ est valeur propre de f $\Leftrightarrow$ $\lambda$ est racine du polynôme minimal de f
A.
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