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Abirmdr

Invité

Continuité en union

Salut , j'espère que vous êtes très bien.
Je prépare pour l'année prochaine, et soudain, en résolvant un exemple je me suis bloqué dans une ligne .
D'ailleurs, si f est continue sur un intervalle I et continue aussi sur un intervalle J , est-ce-qu'on peut dire que f est continue sur (I unoin J) ?

L'exemple que j'étais en train de faire c'est la fonction (1/x-1) , cette fonction est continue sur ]-00, 1[ et ]1, +00[ , est ce qu'on peut dire qu'elle est continue sur l'union et réciproquement ?

Merci.

bridgslam

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Re : Continuité en union

Bonjour,

Si I et J sont quelconques ( notamment si pas ouverts tous les deux ) on ne peut pas être affirmatif.
Par exemple si f est continue sur ]0 , 1 [ et aussi sur [1 , 2[ , f sera continue aux points intérieurs, continue à droite en 1, mais on ne peut rien dire en 1 à gauche.
1 étant point frontière des deux intervalles, il y a (éventuellement) une indétermination qui va dépendre du comportement de f à gauche de 1.
Si on rajoute aux hypothèses que f est aussi continue à gauche en 1, on peut conclure à la continuité sur la réunion.

A.

mpk

Invité

Re : Continuité en union

La continuité étant une propriété locale alors si F est continue sur un ensemble A elle est continue en chacun des points de A. De même si F est continue en B. On conclut que F est continue en chacun des points de A et de B donc de la réunion des deux. Dans ton exemple note juste que 1 n'appartient pas à l'union.

Abirmdr

Invité

Re : Continuité en union

La continuité étant une propriété locale alors si F est continue sur un ensemble A elle est continue en chacun des points de A. De même si F est continue en B. On conclut que F est continue en chacun des points de A et de B donc de la réunion des deux. Dans ton exemple note juste que 1 n'appartient pas à l'union.

Mais bridgslam a donné un contre exemple qui rend ce que tu dis faux .
Je pense que la réponse de mpk n'est vrai que dans les cas des intervalles fermés .

bridgslam

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Re : Continuité en union

Bonsoir,

Dans ton exemple note juste que 1 n'appartient pas à l'union.

Il faut porter des lunettes, 1 est bien dans l'union, et cela fait tout son intérêt.
Si un point est une borne d'un des intervalles, comme 1 dans l'exemple donné, continuité sur l'intervalle en question signifie continuité à droite de ce point.
Par-contre à gauche de ce point, tout est possible, s'il ne fait pas partie de l'autre intervalle.

A.

Glozi

Invité

Re : Continuité en union

Bonsoir,
@bridgslam Je pense que mpk parlait de $f(x)=\frac{1}{x-1}$ du post 1. (finalement pas besoin de lunettes ?)
Sinon tout dépend de la définition :
Pour moi si $A\subset \mathbb{R}$ un ensemble quelconque, si $f : A \to \mathbb{R}$, si $a\in A$ je dis que $f$ est continue en $a$ si
$$\forall \varepsilon >0,\  \exists \eta>0,\ \forall x\in A,\ |x-a|<\eta \rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$
On retrouve la propriété locale de la continuité signalée par mpk.

Ensuite si $B\subset A$, je dis que $f : A\to \mathbb{R}$ est continue sur $B$ si elle est continue en chacun des points de $B$. (ATTENTION : je ne parle pas de la continuité de $f_{|B}$ la restriction de $f$ à $B$, mais bien d'une continuité point par point, et donc le quantificateur dans la définition sera bien $\forall x\in A$ et non $\forall x \in B$).

Ainsi pour moi il n'existe pas de fonction $f : [0,2]\to \mathbb{R}$ continue sur $[0,1[$ et sur $[1,2]$ mais pas continue en $1$ car pour moi si $f : [0,2] \to \mathbb{R}$ est continue sur $[1,2]$ cela signifie en particulier que $f$ est continue en $1$.
En revanche de mon point de vue il existe des fonctions $f : [0,2]\to \mathbb{R}$ dont les restrictions à $[0,1[$ et à $[1,2]$ sont continues mais qui ne sont pas continues en $1$.

Je ne sais pas ce que vous en pensez, je n'ai jamais été très clair sur ces définitions mais j'imagine qu'il y a plusieurs approches de ce problème... Pour moi le point important est de savoir la définition de la continuité en un point.

En tout cas je pense que nous sommes tous d'accords pour dire que $f : ]-\infty,1[\cup]1,\infty[, x\mapsto 1/(x-1)$ est bien continue sur son intervalle de définition (qui ne contient pas $1$).

Bonne soirée

Glozi

Invité

Re : Continuité en union

A la fin de mon message, plutot que "intervalle de definition", il faut mieux lire "domaine de définition", ce domaine n'étant pas un intervalle...
Bonne nuit !

bridgslam

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Re : Continuité en union

Bonjour,

Si j'ai bien compris la question initiale:

Soit f définie sur $I \cup J$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , où I et J sont deux intervalles.
On se demande si f est continue sur $I \cup J$ si f est continue selon I et continue selon J.

Si on en revient aux définitions on a donc:

Continuité selon I:    $\forall x_0 \in I, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |x-x_0| < \eta \;et\; x \in I  \Rightarrow |f(x) - f(x_0| < \epsilon$
Continuité selon J:    $\forall u_0 \in J, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |u-u_0| < \eta \;et\; u \in J  \Rightarrow |f(u) - f(u_0| < \epsilon$

le $u_0$ et $x_0$ n'étant pas forcément commun aux deux propriétés, rien ne permet de conclure que:

$\forall x_0 \in I \cup J, \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 |x-x_0| < \eta \;et\; x \in I \cup J  \Rightarrow |f(x) - f(x_0| < \epsilon$

Il en va bien-sûr autrement si on considère un point commun aux deux intervalles.

Si on prend par-exemple f nulle sur $]-\infty , 0]$ et f(x) = 1/x sur $]0, +\infty[$ , f est bien continue selon chaque sous-intervalle, mais pas sur $\mathbb{R}$.

Je maintiens donc mon contre-exemple en avouant ne pas trop comprendre ton argumentation (c'est peut-être moi qui doit faire une visite chez l'ophtalmo ?)

A.

Glozi

Invité

Re : Continuité en union

Bonsoir,

Tout depend de la définition de "$f$ continue sur $I$"

Prenons $f:A \to \mathbb{R}$ et $I\subset A$.

Pour toi dire que $f$ est continue sur $I$ revient à dire que la fonction restriction $f_{|I} : I \to \mathbb{R}$ est une fonction continue. ($I$ étant muni de la topologie induite).

Pour moi dire que $f$ est continue sur $I$ revient à dire que $f$ est continue en chaque $a\in I$.

Ces deux "definitions" ne sont pas equivalentes.

Je ne sais pas quelle version est la bonne si tant est qu'il y en a une.

J'espère que ce que je voulais dire est maintenant plus clair ?

Bonne soirée

bridgslam

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Re : Continuité en union

Bonjour,

Oui je comprends le dilemme.
Ton option est plus exigeante, puisque B est inclus dans A selon ton exemple, par hypothèse, ou dit autrement selon qu'on prend les voisinages V(b) du point de vue purement dans A, ou leurs traces sur B (qui sont plus petites donc satisfaisant plus facilement la forme de continuité selon la mienne).
Peut-être la lecture des ouvrages académiques sur la définition des limites selon tel ou tel filtre versus l'espace considéré permettrait-elle de lever le doute.
Ou bien l'option est-elle totalement libre, sous réserve d'en convenir préalablement.

En tous cas, sauf erreur, dans le cas d'intervalles comme ici, le distinguo joue sur les points de B qui sont (éventuellement) en frontière de B.
S'il n'y a que des points intérieurs, les deux définitions se confondent, chacune impliquant l'autre (dont un sens immédiat, logique,l'autre plus topologique).

Merci pour tes précisions
Alain

Dernière modification par bridgslam (04-08-2023 15:38:34)

Michel Coste

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Re : Continuité en union

Bonjour.

Il me semble que le consensus serait plutôt de dire qu'une fonction [tex]f[/tex]  définie sur [tex]X[/tex] est continue sur une partie [tex]A[/tex] de [tex]X[/tex] quand la restriction [tex]f|_A[/tex] est continue. Ceci ne veut pas dire que [tex]f[/tex] est continue en tout point de [tex]A[/tex].

Si [tex]X[/tex] est réunion d'un nombre fini de fermés [tex]F_i[/tex], alors [tex]f[/tex] est continue sur [tex]X[/tex] si et seulement si elle est continue sur chacun des [tex]F_i[/tex] (au sens que [tex]f|_{F_i}[/tex] est continue.
Si [tex]X[/tex] est réunion d'ouverts [tex]U_i[/tex] (en nombre fini ou pas), alors [tex]f[/tex] est continue sur [tex]X[/tex] si et seulement si elle est continue sur chacun des [tex]U_i[/tex].