Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

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Les mouches

Bonjour,

Amateur d'énigmes ou de calculs tordus, affute tes neurones.
Quatre mouches sont placées aux 4 coins A, B, C, D d'une pièce carrée de côté a.
La seule condition posée est que les mouches volent dans le même plan et que chacune d'entre elles vole en ligne droite en direction de celle qui la précède.
La mouche A prend son envol et se dirige vers la D, mais B s'envole se dirige vers A et infléchit donc sa trajectoire.
C s'envole à son tour, se dirige vers B et infléchit donc sa trajectoire.
Quant à D, elle s'envole, se dirige vers C et infléchit donc sa trajectoire.
C'est alors que A se dirigeant vers D corrige à son tour sa trajectoire, ce qui fait que B....
Quelle est, en fonction de a, l'équation de la courbe décrite par chacune des mouches ?

@+

tibo

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Re : Les mouches

bonjour,

intuitivement, je dirai que les courbes sont des spirales se joignant au centre du carré.

J'avais programé en maple ce genre de courbe ou chaque point en suit un autre.
ça donne des courbes très interessantes lorsque chaque point n'a pas la même vitesse.

Barbichu

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Re : Les mouches

Bon alors,
Il manque une donnée : la vitesse des mouches, si elle est constante ça pose problème (collisions de mouche en un temps fini).
J'ai donc supposée qu'elle était proportionnelle à la distance qui la séparait de la mouche d'en face.

Déjà toutes mes excuses, je renomme le coté "a" du carré en "K".
Je note a, b, c, d les fonctions de R+ dans le plan complexe qui me donnent la positions de la mouche resp. A,B,C,D en fonction du temps et le problème se traduit alors en le système
a' = d - a; b' = a - b; c' = b - c; d' = c - d
ou encore a = b'+b; b=c'+c; c=d'+d et d=a'+a
ce qui nous donne a = a'''' + 4a''' + 6a'' + 4a' + a
ou encore (a*exp)'''' = a*exp c'est à dire que a s'écrit :
[tex]a(t) = \displaystyle\sum_{\omega\in\{1,i,-1,-i\}}\alpha_{\omega}e^{(\omega-1)t}[/tex]

Par similitude, on peut se ramener à a(0) = 1. (On a b = ia, c=ib et d=ic)
d(0) = a'(0) + a(0) permet d'exprimer a'(0). c(0) permet d'exprimer a''(0) et b(0) permet d'exprimer a'''(0). On a donc une solution unique pour les [tex]\alpha_{\omega}[/tex] avec cette solution initiale. Le système est facile et se résoud en [tex]\alpha_1 = \alpha_{-1} = \alpha_{-i} = 0[/tex], [tex]\alpha_i = 1[/tex]
Ainsi [tex]a(t) = e^{-t}e^{it}[/tex]

On donne le résultat dans le cas général : [tex]A(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}K e^{-t} (\cos{t},\sin{t})[/tex] en se placant dans le repère d'origine le centre du carré 0, avec comme premier vecteur de base [tex]\frac{\sqrt{2}}{K}\vec{0A}[/tex] et en complétant en une base orthonormée.

Est-ce le résultat attendu ?
++

Dernière modification par Barbichu (28-07-2008 02:00:47)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Les mouches

Bonjour, Bonjour,

La bonne réponse ? Je ne sais pas !
Je n'ai jamais su : j'ai exhumé ça de ma mémoire, où ça dormait depuis 40 ans. Je crois bien n'avoir jamais su la réponse, à part qu'on obtient une (des) spirale(s).
Par contre, il ne me semble pas qu'à l'époque, on ait évoqué ce problème de vitesse (où a lieu la collision ?).

C'était là encore un sujet de bizuthage de mon époque...
Pas trop déçu ?

@+

Barbichu

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Re : Les mouches

Salut,
en fait le problème de collision n'est pas vraiment un problème, il se produit dans tout les cas, mais dans certains cas en temps infini (vitesse proportionnelle à la distance par ex) et dans d'autres en un temps fini (vitesse constante).
Si la vitesse de chaque mouche est identique, alors la collision à lieu en O, centre du carré (par symétrie du problème).
Pour montrer qu'a vitesse constante (par ex = 1) il y a collision en temps fini, il suffit de voir qu'en notant r(t) le rayon du cercle par lequel passent toutes les mouches, dr/dt = - sin ((0A),dA/dt) = -k avec k constante positive. d'où r(t) = r(0) - kt et t=r(0)/k est l'instant de collision.

En fait, je pense que tout problème sur les mouches (sans rien supposer la norme de la vitesse) peut se ramener par quatre [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex]-difféomorphismes de [tex]\mathbb{R}_+[/tex] (un changement de variable temporelle pour chaque mouche), des dilatations et des translations au cas que j'ai traité. Bon, de là à le prouver ...

++

Dernière modification par Barbichu (28-07-2008 10:56:07)