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Viki098

Invité

Groupe topologique.

Bonjour à tous,

Soit [tex]G[/tex] un groupe topologique.
Soit [tex]H[/tex] un sous groupe de [tex]G[/tex].
Comment démontrer que [tex]\overset{\circ}{H}[/tex] ( i.e, : l’intérieur de [tex]H[/tex] ) est aussi un sous groupe [tex]G[/tex] ?.

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Groupe topologique.

Bonjour,
Par exemple $G=(\mathbb{R},0,+)$ muni de sa topologie usuelle est un groupe.
$H=(\mathbb{Z},0,+)$ est un sous groupe de $G$.
Pourtant $\mathring{H}=\emptyset$ n'est pas un sous groupe de $G$ (un sous groupe ne peut jamais être vide car il doit contenir l'élément neutre).

Par contre si on rajoute comme hypothèse que $\mathring{H}$ est non vide, alors on peut effectivement montrer que $\mathring{H}$ est un sous groupe de $G$, en effet si $x,y\in \mathring{H}$ alors a $x\in V_x \subset H$ et $y\in V_y\subset H$ avec $V_x$ et $V_y$ ouverts, mais alors $xy^{-1}\in V_x V_y^{-1}$
Où par définition $V_xV_y^{-1}=\{ab^{-1} |a\in V_x, b\in V_y\}$. On vérifie sans peine que $V_xV_y^{-1}$ est un ouvert contenant $xy^{-1}$ et contenu dans $H$, ainsi $xy^{-1}\in \mathring{H}$ et on conclut que $\mathring{H}$ est un sous groupe.

Bonne journée

Viki098

Invité

Re : Groupe topologique.

Merci beaucoup pour cette réponse Glozi.  :-)

L'exercice comporte une autre question, mais un peu difficile je pense. La voici,

Soit [tex]S[/tex] une partie du groupe [tex]G[/tex].
Montrer qu'il existe un sous groupe ouvert [tex]K[/tex] de [tex]G[/tex], tel que, [tex]S \subseteq K[/tex].

Pouvez vous m'aider pour cette question ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Groupe topologique.

Je pense que $K=G$ convient parfaitement bien et qu'on ne peut pas faire mieux dans le cas où $S=G$.

Viki098

Invité

Re : Groupe topologique.

Non, [tex]K[/tex] est un sous groupe propre de [tex]G[/tex].

Est ce que vous pouvez me corriger Glozi,

[tex]S[/tex] est une partie de [tex]G[/tex].
Soit, [tex]L = \overline{\langle S \rangle}[/tex] le plus petit sous groupe fermé content [tex]S[/tex].
Alors, je pose, [tex]K = \{ e \} \cup \overset{\circ}{L}  [/tex].
[tex]K[/tex] est alors, un sous groupe ouvert de [tex]G[/tex] contenant [tex]S[/tex].
Est ce que c’est correct ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Groupe topologique.

Si $S=G$ (ou si $S$ est une partie génératrice de $G$) je ne vois pas comment tu vas trouver $K$ un sous groupe propre...
Sinon ta construction ne marche pas, par exemple dans $G=(\mathbb{R},+,0)$ avec $S=\mathbb{Z}$ alors $L=\mathbb{Z}$ et donc $K=\{0\}$ n'est pas ouvert et ne contient pas $S$.

Viki098

Invité

Re : Groupe topologique.

Merci Glozi.  :)