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Françoise85

Invité

Degré d'une extension.

Bonjour,

Soit [tex]L/K[/tex] une extension de corps.

Pouvez vous m'expliquer quelle est la différence entre les deux notions suivantes,

- Degré [tex][ L : K ][/tex] de l'extension [tex]L/K[/tex].
- Degré de transcendance [tex]\mathrm{deg}_K L[/tex] de l'extension [tex]L/K[/tex].

Merci d’avance.

Skillipopopop

Invité

Re : Degré d'une extension.

Bonjour Françoise,

Concernant $[L:K]$, il s'agit en fait de la dimension de $L$ vu comme un $K$-espace vectoriel : $[L:K] = \dim_{K}(L)$.
Par exemple, $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$, car $\mathbb{C}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2$.

Pour le degré de transcendance $\deg_K(L)$, c'est le cardinal d'une base de transcendance de $L/K$. En particulier, toutes les bases de transcendance possèdent le même cardinal.
Par exemple, si $L/K$ est une extension de corps algébrique, alors son degré de transcendance est nul.

En espérant t'avoir aidé.

Bien à toi,

Skilli

Françoise85

Invité

Re : Degré d'une extension.

Merci pour ta réponse Skillipopopop.  :-)

Je n'ai pas encore réussi à saisir la différence entre [tex][ L : K ][/tex] et [tex]\mathrm{deg}_K L[/tex].

1 - Quelle est la différence entre une base de l'extension [tex]L/K[/tex], et sa base de transcendance ?
2 - Une extension de corps [tex]L/K[/tex] peut-il voir à la fois une base et une base de transcendance ?
3 - Par exemple, si on prend l'extension finie [tex]\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} ) / \mathbb{Q} [/tex], pourquoi la famille [tex]\{ \ \sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} \ \}[/tex] n'est pas une base de transcendance de cette extension ?

Merci d'avance.

Glozi

Invité

Re : Degré d'une extension.

Bonjour,
Prenons $K,L$ deux corps avec $K\subset L$.
$\textbf{Proposition : }$ Le corps $L$ est naturellement muni d'une structure de $K$ espace vectoriel.
$\textbf{Définition : }$On note $[L:K]$ la dimension de $L$ vu en tant que $K$ espace vectoriel.
Exemple : $K=\mathbb{Q}, L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ alors $[L:K]=2$ (on vérifie que $(1,\sqrt{2})$ est une base de $L$ en tant que $\mathbb{Q}$ espace vectoriel).
Exemple : $K=\mathbb{Q}, L=\mathbb{Q}(e)$ alors $[L:K]=\infty$ on vérifie en effet que $(1,e,e^2,\dots,e^n)$ est $K$ libre pour tout $n$.(il faut savoir que $e$ est transcendant).
Exemple : $K=\mathbb{R}$, $L=\mathbb{R}(e)$, alors $[L:K]=1$, en effet $L=K$.

$\textbf{Définition : }$Un élement $x\in L$ est algébrique sur $K$ s'il existe un polynôme $P\in K[X]$ non nul tel que $P(x)=0$, sinon l'élément est dit transcendant sur $K$.
Exemple : $K=\mathbb{Q}$, $L=\mathbb{R}$, alors $\sqrt{2}$ est algébrique (prendre $P(X)=X^2-2$), $e$ est transcendant.

$\textbf{Définition : }$ On dit que $(x_1,\dots,x_n)$ éléments de $L$ sont algébriquement indépendants si tout polynôme $P\in K[X_1,\dots,X_n]$ qui vérifie $P(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$ est en fait le polynôme nul. (en particulier chacun des $x_i$ est transcendant sur $K$).

Exemple : $e$ et $2e$ sont tous les deux transcendants mais ne sont pas algébriquement indépendants sur $\mathbb{Q}$, en effet $P(X_1,X_2)=2X_1-X_2$ vérifie $P(e,2e)=0$.
Exemple : On ne sait pas si $e$ et $\pi$ sont algébriquement indépendants sur $\mathbb{Q}$.
Exemple : Si $L=\mathbb{K}(X,Y)$ alors $X$ et $Y$ éléments de $L$ sont algébriquement indépendants sur $\mathbb{Q}$.

$\textbf{Proposition : }$Si $K\subset L$ il existe une famille maximale $\mathcal{F}$ d'éléments de $L$ telle que toute partie finie de $\mathcal{F}$ soit une famille d'éléments algébriquement indépendant. De plus, deux telles familles maximales ont le même cardinal. Une telle famille est appelée base de transcendance de $L$ sur $K$ et son cardinal est appelée degré de transcendance de $L$ sur $K$.

Exemple : $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ et $K=\mathbb{Q}$ alors tout élément de $L$ est algébrique sur $K$, en effet si $x=a+b\sqrt{2}$ alors $x^2 = a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$ ainsi $P(X)=X^2-2aX+a^2-2b^2$ annule $x$. (en fait il y a des résultat pour dire que si $\alpha$ est algébrique sur $K$ alors automatiquement tout élément de $K(\alpha)$ est algébrique sur $K$). Ainsi toute base de transcendance est la base vide $\emptyset$ et le degré de transcendance vaut $0$.
Exemple : $K=\mathbb{Q}, L=\mathbb{Q}(e)$, alors une base de transcendance de $L$ sur $K$ est $\{e\}$. Le degré de transcendance de $L$ sur $K$ vaut $1$.

Pour ton exemple $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ et $K=\mathbb{Q}$, tu peux montrer que le degré de transcendance est $0$ mais que $[L:K]$ vaut $8$ (ce deuxième point n'est pas si simple).

Tu pourra démontrer et utiliser le résultat suivant : si le degré de transcendance de $L$ sur $K$ est non nul alors $[L:K]=\infty$.

Normalement, tu devrais trouver les réponses à tes trois questions dans ce texte.

Bonne journée

Françoise85

Invité

Re : Degré d'une extension.

Merci beaucoup Glozi. Maintenant, tout est clair. Merci.  :-)