Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Piquard

Invité

Equation différentielle non linéaire

Bonjour,
Y a-t-il parmis vous un balèze des equations différentielles ?
Je me casse la tête à résoudre cette équation différentielle non linéaire : X' = [2g(cos(X)-cos(Xo)/l)^0.5
Je fais une étude sur la récupération d'energie dans une balancoire.
Toute aide rapide sera fortement appréciée.

Roro

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonsoir,

Pas besoin d'être balèze pour avancer un peu dans cette question (je n'ai pas dit résoudre). Il s'agit d'une équation autonome et sa résolution dépend simplement d'un calcul de primitive. Autrement dit, tu peux l'écrire
$$\frac{X'}{\sqrt{2g(\cos(X)-\frac{\cos(X_0)}{I})}} = 1.$$
Et de façon équivalente,
$$(F(X))'=1 \quad \text{où $F$ est une primitive de } f(X) = \frac{1}{\sqrt{2g(\cos(X)-\frac{\cos(X_0)}{I})}}.$$

Si tu sais déterminer $F$, tu auras ta réponse... mais ce calcul de primitive ne semble pas simple !

Roro.

Bernard-maths

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour à tous !

Moi j'ai un problème d'interprétation !

La variable est -elle x de la fonction X(x) ?

Dans ce cas l'équation à résoudre est : X'(x) = [2g(cos(X(x))-cos(X(xo))/l)^0.5

Est-ce bien ça Piquard ?

Et as-tu une idée de ce que serait cette fonction X ?

J'imagine aussi que g =9.8... et l ≈ 3 m ... pour une balançoire ?

Bernard-maths

Piquard

Invité

Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour Roro,
Merci pour la rapidité de ta réponse.
Effectivement, comme tu t'en doutes, je ne sais pas comment trouver la primitive de cette équation différentielle.
Si tu as une piste qui n'est pas analytique, je suis preneur.

Piquard

Invité

Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour Bernard-maths,
Merci pour ta réponse rapide.
La variable est le temps t.
X est en fait la fonction θ(t), alors l'équation à résoudre est : θ'(t) = [2g(cos(θ(t))-cos(θo))/l]^0.5
Pour les valeurs numériques, j'ai pris g = 9.8, l = 2m et θo = 55°.

Bernard-maths

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Re : Equation différentielle non linéaire

Re !

Cette fonction θ est donc un angle variable en fonction du temp t. θ0 = 55° est donc l'angle de lacher de la balançoire à l'instant t = 0 ?

J'espère que ça va donner des idées à Roro !

Dernière modification par Bernard-maths (07-07-2023 10:19:16)

Piquard

Invité

Re : Equation différentielle non linéaire

Voila, c'est ça.
L'angle θ, je le prend tel qu'il est nul lorsque le balancier est vertical.

Fred

Administrateur

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour,

  On ne peut pas calculer explicitement une primitive de $1/\sqrt{\cos(x)}$ (au sens où on ne peut pas l'exprimer
à l'aide des fonctions usuelles). Il s'agit d'une intégrale elliptique de première espèce.
Cela dit, on connait très certainement beaucoup de choses à propos de cette fonction.

F.

Black Jack

Membre

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour,

On a :

[tex]\int \frac{d\theta}{\sqrt{\frac{2g.(cos(\theta)-cos(\theta_0))}{L}}} = \int dt[/tex]

Mais cela conduit à une intégrale elliptique de Jacobi.

Une manière plus habituelle pour cette étude, donne l'équation : [tex]\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L} .sin(\theta) = 0[/tex]

... qui fait aussi passer par une intégrale elliptique de Jacobi.

Mais qui peut plus facilement se simplifier si l'angle´[tex]\theta[/tex] reste petit, on fait alors l'approximation [tex]sin(\theta) = \theta[/tex].

Si on ne peut pas faire cette approximation, on peut résoudre par une méthode numérique (tableur avec petits incréments de temps) ou bien utiliser un développement limité de l'intégrale elliptique, mais c'est lourd.

Bernard-maths

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour à tous !

ça évolue ... Moi je pensais à une approche numérique, comme le dit Black Jack, mais ensuite à rechercher une fonction d'ajustement des points trouvés. Voilà mon approche à priori.

Bernard-maths

Black Jack

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Re : Equation différentielle non linéaire

Rebonjour,

Il y a, me semble-t-il un soucis avec l'équation telle que donnée.

La vitesse angulaire doit changer de signe en cours de mouvement (puisque oscillations), or comme l'équation est donnée, elle ne peut être que positive (X' = [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5)
Le signe devrait changer à chaque demi période ...

Ce problème n'existe pas si on utilise l'équation plus habituelle que j'ai donné dans mon message précédent.

Bernard-maths

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Re : Equation différentielle non linéaire

Re-bonjour !

Oui c'est vrai ... mais si le mouvement est supposé (ici ?) permanant sans amortissement, il sera "symétrique" par rapport à la verticale ... l'équation correspond-elle alors à une demie période ?

Maintenant, Jacobi peut il résoudre cette équation ?

De plus, cette équation doit permettre d'étudier la récupération d'énergie, j'imagine de potentielle en cinétique ... ?

B-m

Roro

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour,

Suite aux différentes interventions, je vois apparaître deux points différents :
1 - la modélisation ayant conduit à l'équation différentielle de Piquard dans son message initial ;
2 - la résolution de ladite équation différentielle.

Pour la première question, je suis - comme Black Jack - assez surpris de la racine carrée... tu as dû extraire la racine carrée de quelque chose sans être certain que c'était positif ($\sqrt{\dot{\theta}^2}  = |\dot{\theta}| \neq \dot{\theta}$). La formulation classique de l'équation que tu sembles chercher est celle d'un pendule pesant, voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant

Pour la seconde question, si tu veux une solution de ton équation différentielle (ce sera aussi le cas si tu utilises l'équation plus usuelle d'un pendule pesant évoqué ci-dessus) tu peux
1 - soit faire une approximation de petits angles et comme le dit Black Jack, te retrouver avec un problème linéaire simple ;
2 - soit te contenter d'une solution utilisant des fonctions spéciales comme l'évoquait Fred ;
3 - soit utiliser un outil d'approximation numérique (tableur ou programmation).

Roro.

Dernière modification par Roro (07-07-2023 13:09:49)

Piquard

Invité

Re : Equation différentielle non linéaire

Salut Roro et tout le monde,

Je suis avec beaucoup d'intérêt et de plaisir les échanges.

Roro, § 1 :
Oui, le dessous de la racine est forcément positif. En effet, par hypothèse, le balancier part de θo (θo adopté par tous et non plus Xo contrairement à mon équadiff donnée au départ) et je ne fais qu'entretenir le mouvement pour compenser les frottements. On est donc dans le cas d'un mouvement considéré sans frottement. (C'est ce que font les enfants qui se balancent, sauf celui qui voudrait faire le tour de la balancoire !).

Roro, § 2.1 :
L'approximation, je la ferai si j'échoue dans les autres possibilités.

Roro, § 2.2 :
intégrale elliptique de Jacobi, là, je suis largué, c'est pas à mon niveau.

Roro, § 2.3 :
Je vais partir la dessus et reviens dès que j'ai avancé...

Black Jack

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Re : Equation différentielle non linéaire

@Piquard,

"Oui, le dessous de la racine est forcément positif"

Le soucis n'est pas là.
L'équation : (X' = [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5) n'est valable que pour les portions de rotation dans le sens anti horlogique.

Lorsque la balançoire change de sens de rotation, l'équation DOIT être  X' =   - [2g/L * (cos(X)-cos(Xo))]^0.5

Dernière modification par Black Jack (07-07-2023 15:05:31)

Black Jack

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Re : Equation différentielle non linéaire

Zut envoi trop rapide, il manque des morceaux, j'explique mes dires précédents :

Ton équation provient de la conservation de l'énergie mécanique.

Lorsque la balançoire (pendule) passe de l'angle theta0 à l'angle theta, le mobile perd de l'énergie potentielle de la quantité :
m*g*delta H = m*g*L(cos(theta) - cos(theta0))

Il y a donc une augmentation d'énergie cinétique équivalente valant : 1/2 * J * w² = 1/2 * m * L² * w² (avec w la vitesse angulaire)

On a donc par conservation de l'énergie mécanique du système : m*g*L(cos(theta) - cos(theta0)) =  1/2 * m * L² * w²

qui après simplification devient : w² = 2g/L * (cos(theta) - cos(theta0))

Et ton erreur est ici ... En tirant w (theta'), tu oublie un +/-

on a [tex]w = \theta ' = \pm \sqrt{\frac{2g}{L}.(cos(\theta)-cos(\theta_0))}[/tex]

Le signe "+" devant la racine carrée est pour la rotation dans le sens anti horlogique et le signe "-" pour la rotation dans le sens horlogique.

Roro

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Re : Equation différentielle non linéaire

Merci Black Jack pour ces éclaircissements.

Lorsque Picard dit qu'il va partir sur des méthodes d'approximations, je pense qu'il serait beaucoup plus sage de partir avec un modèle écrit de façon plus simple (sans le $\pm$) qu'on obtient en repartant de ce qu'a écrit Black Jack :

qui après simplification devient : w² = 2g/L * (cos(theta) - cos(theta0))

que l'on dérive par rapport au temps. On obtient :
$$2 w w' = -2\frac{g}{L} \theta' \sin(\theta).$$
Puisque $w=\theta'$, cette dernière se ré-écrit
$$\theta'' + \frac{g}{L}\sin(\theta) = 0.$$

Roro.

Piquard

Invité

Re : Equation différentielle non linéaire

Bonsoir à tous,
Finalement, je me suis contenté de la solution numérique.
Merci pour votre aide.

Loïc KD

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Re : Equation différentielle non linéaire

Ok

Bernard-maths

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour Piquard !

Je suis curieux de voir ce que donne le traitement numérique ... peut-on voir ?

Merci, B-m

Black Jack

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Re : Equation différentielle non linéaire

Bonjour Piquard !

Je suis curieux de voir ce que donne le traitement numérique ... peut-on voir ?

Merci, B-m

Bonjour,

C'est élémentaire, par exemple avec L = 2m, [tex]\theta (0) = 55^o[/tex] et [tex]\theta '(0) = 55^o[/tex]

temps (en s) en abscisses) et theta (en rad) en ordonnées.