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DurandT

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Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,
Je suis en dernière année de doctorat (physique appliqué), et je suis tombé sur un problème de mathématiques que moi et mes différents collègues chercheurs n'avons pas pus résoudre. N'aillant pas de collègue mathématicien à disposition dans mon laboratoire, je me permets de solliciter votre aide sur ce problème.

Pour simuler la propagation d'un faisceau de particules et ces interactions, nous avons besoin d'intégrer une double gaussienne dans un repère cylindrique de la forme :

$f(r,θ)= \dfrac{1}{2π.σ_x.σ_y }\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\int_{θ_1}^{θ_2} r.e^{-\dfrac{r^2}{2} (\dfrac{cos^2⁡θ}{σ_x^2 }+\dfrac{sin^2⁡θ}{σ_y^2 }) }dr dθ$

Avec $σ_y\neq σ_x$.

Hors, nous n'avons pas réussi à trouver la solution analytique à ce problème qui peut être considéré comme trivial.
J'espère que vous trouvez une solution plus facilement que nous.

Merci d'avance à l'attention que vous porterez à ce message.

Roro

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,

Je ne suis pas convaincu qu'il existe une expression explicite pour votre fonction.

L'intégration par rapport à la variable $r$ est facile mais ensuite, par rapport à la variable $\theta$, ça me semble vraiment compliqué et je ne pense pas qu'il existe de fonction usuelle permettant d'exprimer le résultat.

Juste pour bien clarifier la situation, la fonction $f$ pour laquelle vous souhaitez trouver l'expression dépend de 4 variables $(r_1,r_2,\theta_1,\theta_2)$ mais pas de $r$ et $\theta$ qui sont les variables d'intégration "muettes"...

Roro.

Roro

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,

N'ayant pas de retour à mon message... j'ai un peu regardé et je suis encore plus convaincu qu'il n'existe pas de forme explicite.

En fait, je me suis dis que pour $\sigma_x=\sigma_y$, l'intégration est simple. Et j'ai donc cherche à savoir ce qu'il pouvait se passer lorsque $\sigma_x\approx \sigma_y$, et là je suis tombé sur ce type d'intégrale
$$\int_{\theta_1}^{\theta_2} \mathrm e^{\sin^2(\theta)}\, \mathrm d\theta$$
pour laquelle je suis presque sûr qu'on ne sait pas faire explicitement.

La vraie question que j'ai c'est de savoir qu'est ce que vous voulez faire de cette fonction ?
Même si on ne peut pas connaître la valeur explicite, on peut sans doute faire des choses...

Roro.

Dernière modification par Roro (29-06-2023 13:16:31)

DurandT

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,

Comment avez vous trouvez votre équation?
Car quand je pose cette condition (pour $\sigma_x = \sigma_y$), je n'obtient pas la même chose que vous...
J’obtiens $f(r_1,r_2,θ_1,θ_2)= \dfrac{1}{2π σ^2 }\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\int_{θ_1}^{θ_2} r e^{-\dfrac{r^2}{2σ^2}}dr dθ $
$f(r_1,r_2,θ_1,θ_2)=\dfrac{θ_2-θ_1}{2π}(e^{-\dfrac{r_1^2}{2σ^2}}-e^{-\dfrac{r_2^2}{2σ^2}})$

Sinon voici ce que je souhaite faire avec cette équation (en deux parties: physique et math).

D'un point de vue physique:
Et bien, je souhaiterais intégré un courant déposé (faisceau d'ion) sur les doigts d'un collimateur 4 doigts, ce collimateur à une ouverture circulaire en son centre, chaque doigt à une ouverture de 90° et ont un angle de rotation de 45°. Ce qui m'impose de passer par un référentiel polaire.

Exemple de collimateur 4 doigts: ici l'ouverture de chaque doigt est inférieur à 90°

Les doigts peuvent être considéré comme infinie au vue des dimensions du faisceau.

Une formule analytique ou "approché" (avec des développements limités ou des séries entières) me permettrai d'étudier les paramètres de twiss (du faisceau) en fonction du courant déposé (par l'expression du $σ_x$ et $σ_y$).

D'un point de vue mathématique:
Je souhaiterais intégrer sur cinq parties:
La formule analytique découlant peut-être composé de fonction telle que $erf(x)$, car je peu la développer en série entière.
1- $f(0,R,0,2\pi)$
2- $f(R,+\infty,\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4})$
3- $f(R,+\infty,\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4})$
4- $f(R,+\infty,\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4})$
5- $f(R,+\infty,\dfrac{7\pi}{4},\dfrac{\pi}{4})$

Source : https://www.researchgate.net/publicatio … _SuperKEKB

Dernière modification par DurandT (29-06-2023 15:08:47)

Roro

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,

Car quand je pose cette condition (pour $\sigma_x = \sigma_y$), je n'obtient pas la même chose que vous...

Si, on trouve la même chose, mais j'ai dit que je regardais le cas moins facile où $\sigma_x$ est proche de $\sigma_y$ en espérant y arriver mais je ne connaissais pas la physique et les grandeurs réelles de ces deux quantités.

L'idée est de dire que si on sait faire pour $\sigma_x = \sigma_y$ alors peut être que pour $\sigma_x = (1+\varepsilon) \sigma_y$, on y arrivera aussi. Et c'est dans ce dernier cas que je suis arrivé sur $\int \mathrm e^{\sin^2(\theta)}$.

Malheureusement, même pour ce cas, il n'y a pas de solution connue.
Lorsque tu fixes $r_1$, $r_2$, $\theta_1$ et $\theta_2$, as-tu essayé avec https://www.dcode.fr/integrale-intervalle ?

Roro.

Dernière modification par Roro (29-06-2023 21:08:25)

DurandT

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonjour,

Il me fallait absolument la formule analytique, pas juste l'application numérique.

Mais en tout cas, merci d'avoir cherché.

Roro

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Re : Intégrale de gauss multidimensionnel (loi normal 2D)

Bonsoir,

Eh bien, si tu trouves une réponse analytique, fait nous signe !!!

Roro.