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LianSmith-OldT2025

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le chiffre 9 dans les nombres

Bonjour,

On peut voir que lorsque l'on retranche la somme des chiffres à un nombre quelconque, on retombe quelque soit le nombre sur le chiffre 9.
exemples

65348->6+5+3+4+8=26
65348-26=65322->6+5+3+2+2=18->8+1=9

24356->2+4+3+5+6=20
24356-20=18->8+1=9

4265->4+2+6+5=17
4264-17=4248->4+2+4+8=18->8+1=9

1557->1+5+5+7=18
1557-18=18->8+1=9

71->7+1=8
71-8=63->6+3=9

je croyais avoir trouvé une raison avec les séries arithmétiques

U_n=U₀+nr   (r est la raison de la suite, n coefficient multiplicateur)

mais comment rattache t'on n aux chiffres du nombre ?

De plus je suis peut être dans une mauvaise voie, est-ce du à une loi de l'arithmétique que j'ignore ?

merci d'avance

Matou

Invité

Re : le chiffre 9 dans les nombres

Bonjour,

La raison de ce que tu observes est assez simple : tout nombre entier naturel est congru, modulo 9, à la somme de ses chiffres en écriture décimale.
Plus simplement, si tu considère un nombre $n$ et que tu poses $s$ la somme de ses chiffres en écriture décimale, tu as $n = 9k + s$ où $k$ est un entier. C'est d'ailleurs le principe de la preuve par neuf (le lien te donne la démonstration de cette affirmation).

Donc, $n-s = 9k$. $n-s$ est un multiple de $9$ et la somme des chiffres d'un multiple de $9$ est égale à $9$. C'est un critère de divisibilité bien connu.

Cordialement

Matou

LianSmith-OldT2025

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Messages : 2

Re : le chiffre 9 dans les nombres

Merci,

j'étais parti sur des choses beaucoup plus compliqué, encore merci et bonne journée

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : le chiffre 9 dans les nombres

Bonjour à vous deux !

Un nouveau théorème ? Pour savoir si un nombre entier n est divisible par l'entier p, il suffit de chercher l'écriture de n en base p. Si elle se termine par 0, alors n est divisible par p ! C'est pas beau ça ?

Pour en revenir à la question de LianSmith, en base p, comment peut-on énoncer le phénomène vu en base 10 ?

Je n'ai pas cherché, pourtant j'y ai pensé plus d'une fois ! Je vous laisse gérer le bébé ...

Bernard-maths

Matou

Invité

Re : le chiffre 9 dans les nombres

Bonjour à vous !

Bernard, j'espère ne pas dire trop de bêtises, mais je viens d'écrire un joli petit théorème, voire deux $\unicode {x1F600}$

Il me semble que tout nombre $p$ est congru à $1$ modulo $p-1$. Donc, $p^n \equiv 1 \mod (p-1)$.

Du coup, en base $p$ on devrait avoir une preuve par $(p-1)$ (premier théorème)

Donc si $n$ est un entier et $s$ la somme de ses chiffres en base $p$, on devrait avoir que $(n-s)$ est divisible par $(p-1)$ (deuxième théorème).

Matou

PS. Avant d'envoyer ce post, j'ai quand même vérifié sur deux ou trois cas, ça à l'air correct...

Bernard-maths

Membre Expert

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Re : le chiffre 9 dans les nombres

Bonjour !

Merci Matou, c'est assez bien ce que je pré-sentais !

Ca fait du bien de trouver de nouveaux théorèmes ... car les anciens nous ont piqué tout ce qui était facile ...

Matou

Invité

Re : le chiffre 9 dans les nombres

Faut qu'on publie.
Ce qui me désole, c'est que je suis trop vieux pour la médaille Fields

wronskien

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Re : le chiffre 9 dans les nombres

Donc si $n$ est un entier et $s$ la somme de ses chiffres en base $p$, on devrait avoir que $(n-s)$ est divisible par $(p-1)$ (deuxième théorème).

Il me semble même que la valuation p-adique de n! est $\frac{n-s}{p-1}$ (j'ai eu un oral la dessus à centrale supelec cette semaine). Tu peux le montrer avec la Formule de Legendre.