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Bruno010

Invité

Théorème de Gelfand Naimark

Bonjour à tous,

On note [tex]\mathcal{M}_{n} ( \mathcal{C} )[/tex] la [tex]C^*[/tex] - algèbre des matrices carrées complexes de taille [tex]n \times n[/tex].

D'après le théorème de Gelfand Naimark, quel est l’espace topologique [tex]X[/tex] tel que, [tex]\mathcal{M}_{n} ( \mathbb{C} ) = \mathcal{C}^0 ( X , \mathbb{C} ) [/tex] ? Comment le construire ?.

[tex]\mathcal{C}^0 ( X , \mathbb{C} )[/tex] est la [tex]C^*[/tex] - algèbre des fonctions continues sur [tex]X[/tex] à valeurs dans [tex]\mathbb{C}[/tex].

Merci d’avance.

Glozi

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Bonsoir,
Je ne connais pas le théorème de Gelfand Naimark, mais je ne vois pas comment on pourrait avoir un isomorphisme d'algèbre entre $M_n(\mathbb{C})$ et $\mathcal{C}^0(X,\mathbb{C})$ (ou même une sous algèbre de ce dernier) car dans $M_n(\mathbb{C})$ la multiplication est non commutative alors que $\mathcal{C}^0(X,\mathbb{C})$ la multiplication est commutative...
Ou alors je n'ai pas bien compris ce que tu cherches ?
Bonne soirée

Bruno010

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Bonsoir,

Merci pour l’intérêt porté à mon sujet.
En fait, si l'on croit le livre suivant, http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard … ali_13.pdf ( Voir les pages entre page [tex]10[/tex] et page [tex]18[/tex] ), il faut montrer que, [tex] \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \simeq \mathbb{C} ( \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_q , c ) \simeq \mathcal{C}^0 ( \mathcal{A}_{\theta} , \mathbb{C} )[/tex], mais, je ne sais aps comment. Pouvez vous m’aider s'il vous plaît ?

Bruno010

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Si je ne m’abuse :

[tex]\mathbb{C} ( \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_q , c_{\theta}}  )[/tex] : Twisted group algebra.

[tex]\mathcal{A}_{\theta}[/tex] : Tore non commutatif.

Bruno010

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Si je ne m’abuse :

[tex]\mathbb{C} ( \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_q , c_{\theta}  )[/tex] : Twisted group algebra.

[tex]\mathcal{A}_{\theta}[/tex] : Tore non commutatif.

Glozi

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Rebonsoir,
Bon du coup, le théorème 1.1.2 de ton livre parle bien d'une $\mathbb{C}^\star$ algèbre $\textbf{commutative}$.
Pour la première égalité dont tu parles : $M_q(\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}(\mathbb{Z}_q\times \mathbb{Z}_q,c)$, alors il s'agit de montrer que $M_n(\mathbb{C})$ est isomorphe à la $\mathbb{C}^\star$ algèbre engendrée par deux éléments $U$ et $V$ vérifiant les relations
$U^q=V^q=1$ et $VU = e^{2i\pi/q}UV$.
Idée pour résoudre ça :
On pose $\lambda = e^{2i\pi/q}$
Dans $M_n(\mathbb{C})$ on pose $u = diag(1,\lambda,\dots, \lambda^{q-1})$ et on pose $$v=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \dots & \dots \\
0 & 0 & 1 & 0 & \dots\\
\vdots & \vdots &\ddots &\ddots & \\
0 & 0 & \dots & 0& 1\\
1 & 0 & \dots &0 & 0
\end{pmatrix}$$

On vérifie que $u^q = v^q = I_q$ que $vu = \lambda uv$.
Et surtout on vérifie que la sous algèbre de $M_q(\mathbb{C})$ engendrée par $u$ et $v$ est en fait $M_q(\mathbb{C})$ tout entier. Une manière de faire, montrer que $(u^iv^j)_{0\leq i,j\leq q-1}$ est une famille libre de $M_q(\mathbb{C}).$

Pour l'égalité suivante "$\mathbb{C}(\mathbb{Z}_q\times \mathbb{Z}_q,c) \simeq \mathcal{C}^0(\mathcal{A}_\theta, \mathbb{C})$" je ne vois pas où elle est indiquée dans le papier (il est tard et je vais aller dormir) mais comme je l'ai dit vu qu'un côté est non commutatif alors que l'autre l'est, je ne crois pas en cette égalité.

Bonne soirée

Bruno010

Invité

Re : Théorème de Gelfand Naimark

Merci beaucoup Glozi pour ces précisions et pour le temps que tu m'as accordé.  :-)