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Viki098

Invité

Théorème du point fixe.

Bonjour,

Le théorème du point fixe permet de calculer la limite d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex][tex][/tex] à partir d'une récurrence de la forme [tex]\begin{cases} u_0 = a > 0 \\ u_{n} = f( u_{n-1} ) \end{cases}[/tex].

Connait-on de nos jours une méthode qui permet de calculer la limite d'une suite [tex](u_n)_{ n \geq 0 }[/tex][tex][/tex] cette fois ci à partir d'une récurrence de la forme [tex]\begin{cases} u_0 = a > 0 \\ u_{n} = f( u_{n+1} ) \end{cases}[/tex] ?

Merci d’avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Théorème du point fixe.

Bonjour,

Ce n'est pas une suite récurrente!!!
Imagine par exemple que $f(x)=x^2$ et que $u_0=1$. Comment calculerais-tu $u_1$? Ta relation donne $u_0=u_1^2$ c'est-à-dire $u_1^2=1.$ Tu choisis $u_1=1$ ou $u_1=-1$???

F.

Viki098

Invité

Re : Théorème du point fixe.

Ah oui, c'est vrai. Merci beaucoup Fred.  :-)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 913

Re : Théorème du point fixe.

Bonjour,

Tel que vous l'a dit Fred, sauf cas particulier sur f, cette relation ne peut pas servir de définition à la suite.

Si f est bijective (mais alors pourquoi s'embêter puisqu'on revient avec sa réciproque à une définition classique, du moins si sa réciproque est exprimable de façon simple ) ou même si f est injective et que
$u_0$ ainsi que tous les antécédents successifs par f sont dans  Im ( f ) ça marche quand-même (l'antécédent est unique et rebelote ad libitum...).

Si par-contre la suite est définie par ailleurs , qu'elle converge vers l, et que la relation est vérifiée  même seulement qu' à partir d'un certain rang n,pour une certaine fonction f  continue , sauf erreur une condition nécessaire est que l = f( l ).
Noter que si f est bijective et que l'expression de sa réciproque est moins agréable que celui de f, on a tout intérêt à rester avec f pour la suite des évènements.

Ce genre de "rebrousse-poil" me rappelle aussi une question amusante relative à la plus grande partie invariante par une application.

Alain