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#1 09-06-2023 14:23:46
- Bibmans
- Membre
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Topologie: application d'image dense
Bonjour à tous, si j'admet qu'une application entre deux espaces topologiques est d'image dense si l'adhérence de l'image de l'espace de départ est égale à l'espace d'arrivée, alors j'ai des difficultés pour montrer que la composée de deux applications continues d'image dense est elle aussi d'image dense.
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#2 09-06-2023 15:11:49
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Topologie: application d'image dense
Bonjour,
Si tu considères $u:A\to B$ et $v:B\to C$, il suffit de démontrer que pour tout ouvert non vide $U$ de $C$, on peut trouver $a\in A$ tel que $u\circ v(a)\in U.$
D'une part, puisque $v$ est à image dense, il existe $b\in B$ tel que $v(b)\in U.$
D'autre part, puisque $v$ est continue, il existe un voisinage $V$ de $b$ tel que $v(y)\in U$ pour tout $y\in V.$
Il te reste à utiliser ce que tu sais sur $f$.
Question subsidiaire : une hypothèse de l'énoncé que tu as donné ne sert pas. Laquelle?
F.
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#3 09-06-2023 16:37:06
- Bibmans
- Membre
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- Messages : 5
Re : Topologie: application d'image dense
Bonjour Fred et merci pour cette réponse.
Dans ta démarche l'hypothèse de trop c'est la continuité de $u$. Cependant je ne vois pas clairement l'équivalence suivante: {Pour tout ouvert $U$ de $C$, il existe $a\in A$ tel que $v\circ u(a)\in U$} $\longleftrightarrow$ {$\overline{v\circ u(A)}=C$}.
Dernière modification par Bibmans (09-06-2023 16:38:11)
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#5 10-06-2023 09:04:14
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 912
Re : Topologie: application d'image dense
Bonjour,
Si on préfère procéder par relations ensemblistes, donc sans revenir aux éléments ( pour tout ouvert U non vide etc ...)
on peut écrire aussi: Adh( f o g (E) ) contient f( Adh ( g(E) ) ) ( car f est continue )., donc contient f( F) compte-tenu de la propriété de g.
Ce fermé contient donc Adh( f(F) ) = G compte-tenu de la propriété de f.
D'où le résultat.
Alain
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