Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Regroupement des termes dans une série

Bonjour,

Dans un exercice, on demande de démontrer que la série [tex]R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k}[/tex] converge.

Pour cela, l'indication est la suivante : montrer que [tex]|R_n|=\sum_{p=0}^{+\infty} \big(\frac{1}{n+2p+1}-\frac{1}{n+2p+2}\big)[/tex].

Bon, je pense voir d'où cela vient : un regroupement des termes pairs et impairs. Seul problème pour moi, qu'est-ce qui m'autorise à regrouper ces termes, puisque la série ne semble pas converger absolument ?

Merci !

Michel Coste

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Re : Regroupement des termes dans une série

Bonjour,
Pour la convergence, voir https://bibmath.net/dico/index.php?acti … iealt.html

Fred

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Re : Regroupement des termes dans une série

Bonjour,

  Si $\sum_n u_n$ est une série convergente, si $(p_n)$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que $p_0=0,$ et si on pose pour tout $n$, $v_n=\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}u_k,$ alors la convergence de $\sum_n u_n$ entraîne celle de $\sum_n v_n,$
et les deux séries ont la même somme. La réciproque est fausse : la convergence de la série $\sum_n v_n$ n'entraîne pas celle de $\sum_n u_n$.

F.

Vincent62

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Re : Regroupement des termes dans une série

Bonjour Michel et Fred, et merci pour vos réponses.

Je viens de regarder le lien que tu proposes Michel, et ce que je peux dire, c'est que [tex]|R_n|\le a_{n+1}[/tex], mais cela ne permet pas de conclure quant à la convergence de ladite série.

Fred, je ne connais pas ce résultat. Est-ce nécessaire ici, et n'y a-t-il pas plus élémentaire ?

Merci

Dernière modification par Vincent62 (05-06-2023 07:45:11)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Regroupement des termes dans une série

La série [tex]R_n[/tex] rentre parfaitement dans le critère des séries alternées  : le terme général est de la forme [tex](-1)^k a_k[/tex], où la suite [tex](a_k)[/tex] est positive décroissante puisque [tex]a_k=\dfrac1k[/tex].

Ta question n'est pas claire. Elle concerne peut-être la convergence de la série [tex]\sum R_n[/tex] ?
Puisqu'on a vu par le critère des séries alternées que la série [tex]R_n[/tex] est convergente, on sait que la valeur absolue de sa somme est la limite pour $q\to \infty$ de $$(-1)^{n+1}\sum_{k=n+1}^{n+2q+2}\dfrac{(-1)^k}{k}=\sum_{p=0}^q\left(\dfrac1{n+2p+1}-\dfrac1{n+2p+2}\right)\;.$$

Ensuite, pour la série [tex]\sum R_n[/tex], on peut de nouveau appliquer le critère de convergence des séries alternées.

Une dernière chose : l'indication permet de voir que la suite [tex](|R_n|)[/tex] est bien décroissante, ce qui est demandé pour l'application du critère des séries alternées à la série [tex]\sum R_n[/tex] (qui n'est pas la série $R_n$ !).

Dernière modification par Michel Coste (05-06-2023 10:17:40)