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userabdelhadi

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transcendance \e et \pi

j'ai vu dans arnaudiès que \e+\pi est transcendant ou  \e\pi est transcendant est vraie sans savoir la vérité de \e+\pi ou de \e\pi, commentils ont  montré que \e+\pi est transcendant  ou \e\pi est transcendant

Glozi

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Re : transcendance \e et \pi

Bonjour,
Cela est général à toute paire de nombres transcendants. Si $a,b$ deux nombres transcendants alors parmi $a+b$ et $ab$ il y a au moins un nombre transcendant.

On utilise le fait suivant : En notant $\overline{\mathbb{Q}}$ la cloture algébrique de $\mathbb{Q}$ (ie l'ensemble des nombres algébriques) alors $\overline{\mathbb{Q}}$ est un corps algébriquement clos.

Avec ce fait on suppose par l'absurde que $a+b$ et $ab$ sont tous les deux algébriques. On considère le polynôme $P(X)= (X-a)(X-b) = X^2-(a+b)X+ab$ qui est un polynôme à coeff dans $\overline{\mathbb{Q}}$. Ainsi par le fait énoncé ci dessus, $P$ doit admettre une racine dan $\overline{\mathbb{Q}}$, ce qui est absurde car ni $a$ ni $b$ n'est algébrique.

Bonne journée

userabdelhadi

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Re : transcendance \e et \pi

Merci beaucoup Glozi