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samo12

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Suite de Cauchy

Bonjour,

j'ai une question concernant la suite de Cauchy. En effet, dans un exercice, il montre que [tex]\|u_{m+1}-u_m\|\leq m(\frac{1}{2})^{\frac{m-1}{3}+1}+(\frac{1}{2})^{m}\|u_1-u_0\|.[/tex] Apres, il dit que [tex]\sum_{m=1}^{\infty}m(\frac{1}{2})^{\frac{m-1}{3}+1},\infty[/tex] donc [tex]\{u_m\}[/tex] est de Cauchy.

Je n'ai pas compris ce passage. Merci de m'éclaircir.

Dernière modification par samo12 (20-05-2023 12:57:30)

Fred

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Re : Suite de Cauchy

Bonsoir,

  et si tu majorais $\|u_{m+p}-u_m\|$ en utilisant l'inégalité triangulaire et
$$u_{m+p}-u_m=u_{m+p}-u_{m+p-1}+u_{m+p-1}-u_{m+p-2}+\cdots+u_{m+1}-u_m\|.$$

F.