Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merwan

Invité

valeur vers laquelle f tend vers son sup

soit f continue sur un segment quelconque [a,b], existe-t-il un réel tel que fx tend vers son sup quand x tend vers ce réel ? Merci

Merwan

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

cette question a pour but de montrer a terme que l’integrale sur un segment de f a la puissance n le tout puissance 1/n tend vers le sup de f sur le segment
on prendra pour simplifier f positive (sinon il suffit de prendre |f|)

Glozi

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

Bonsoir,
Une première question : est ce ce sup est un max ou non ?
Bonne soirée

merwan

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

salut! deja merci de la reponse, on va dire que f est definie sur ce segment comme ca son sup c’est son max vu qu’elle est continue.

merwan

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

de toutes les facons ca n’a aucune importance, c’est le sup de f sur ce segment dont on parle

Glozi

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

Cela a une importance car un max est atteint, tu as donc un bon candidat pour le réel dont tu parles.
Exo annexe : trouver une fonction continue sur $]0,1]$ tel qu'il n'existe pas de $x_0\in [0,1]$ vérifiant $f(x)\xrightarrow[x\to x_0]{}\sup\{f(t) \ |\ t\in ]0,1]\}$.

▼indice pour l'exo annexe

modifier un peu la fonction $x\mapsto \sin(1/x)$.

Merwan

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

Bonjour, je vois ce dont vous parlez pour sin1/x mais celle ci n’est pas continue sur le segment [0,1] et dans mon cas ca l’est. a moins que je ne me trompe, max et sup se confondent bien lorsqu’on parle de fonction C0 sur un segment. je voudrais simplement savoir s’il existe toujours une valeur x0 telle que f tende vers son sup quand x tend vers x0 dans le cas ou f C0 sur un segment, et que donc son sup sur ce segment soit son max sur ce segment etc etc

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 475

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

Bonjour,
Comme tu le sais, une fonction [tex]f[/tex] continue sur un segment [tex][a,b][/tex] est majorée et atteint sa borne supérieure [tex]M[/tex]. Cela signifie entre autres qu'il existe [tex]x_0\in [a,b][/tex] tel que [tex]f(x_0)=M[/tex]. Et donc, puisque [tex]f[/tex] est continue, [tex]f(x)[/tex] tend vers [tex]M[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers [tex]x_0[/tex].

Merwan

Invité

Re : valeur vers laquelle f tend vers son sup

Ah bah oui c’etait juste le theoreme des bornes atteintes… Merci