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Salif

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Convergence prèsque sûr et lemme de Borel Cantelli

Bonsoir.Svp je demande de l'aide sur une partie d'un exercice de probabilité que je n'arrive pas à comprendre.
L'énoncé est le suivant : soit (Xn) une suite de variable aléatoire et (an) une suites de réels positif tel que Somme de an<oo et  P(|Xn+1 - Xn|>an)<oo.
Montrer que (Xn) converge prèsque sûrement.
J'ai pu montrer à travers le lemme de Borel Cantelli que P(lim sup|Xn+1 -Xn|>an)=0 .a travers ça j'ai pu montrer que |Xn+1(w) -Xn(w)|<=an pour w ellement de l'évènement contraire de |Xn+1-Xn|>an.
Mon problème est que d'après le corrigé ils disent que pour q>p>=n d'après l'inégalité triangulaire |Xq(w) -Xp(w)|<=ap+ ...+aq-1.c'est la partie que je n'arrive pas a comprendre.Merci de m'éclaircir et pardonner moi pour le format de mon texte car pour le moment je ne maîtrise pas latex

Glozi

Invité

Re : Convergence prèsque sûr et lemme de Borel Cantelli

Bonsoir,
En notant $A_n$ l'évènement $\{|X_{n+1}-X_n|>a_n\}$ alors tu as montré avec Borel Cantelli que l'évènement $\limsup_{n}A_n$, a proba nul. Pour rappel $\limsup_n A_n = \bigcap_{N\geq 1}\bigcup_{k\geq N}A_k$ (autrement dit l'évènement où il y a une infinité de $n$ (aléatoires) pour lesquels $A_n$ est réalisé).
Par conséquent l'évènement complémentaire de $\limsup A_n$ a probabilité $1$. Notons $E$ cet évènement.
Alors $E= \bigcup_{N\geq 1}\bigcap_{k\geq N}A_k^c$ (l'évènement qu'il existe un $N$ (aléatoire) tel que pour $k\geq N$ alors tous les $A_k^c$ se produisent.)

Maintenant : soit $\omega\in E$, notons $N(\omega)$ tel que $\forall k\geq N(\omega)$ alors $\omega \in A_k^c$. Pour $n\geq N(w)$ on a donc $|X_{n+1}(\omega) - X_n(\omega)|\leq a_n$. (évènement $A_n^c$).
Par conséquent si $q>p\geq N(\omega)$ alors $|X_q(\omega)-X_p(\omega)|= |\sum_{n=p}^{q-1}X_{n+1}(\omega)-X_n(\omega)| \leq \sum_{n=p}^{q-1} a_n$.

Est-ce que cela t'éclaircit ?

Bonne soirée

Salif

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Re : Convergence prèsque sûr et lemme de Borel Cantelli

Merci beaucoup pour ton intervention
Je suis comblée

Salif

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Re : Convergence prèsque sûr et lemme de Borel Cantelli

Merci beaucoup pour ton intervention
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