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Bivalve

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Endomorphismes

Bonjour, j'ai un peu de mal avec la correction de l'exercice 7 du lien suivant :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

En effet, pour la 2ème partie (l'inclusion réciproque) on a définit l'application 'f' d'une certaine manière. Cependant, il ne faut pas prouver que 'f' est bien un endomorphisme ? En effet, comment on sait qu' il existe un endomorphisme 'f' qui vérifie les propriétés données ?

Il est très probable que je n'ai pas très bien compris la correction...

Je vous remercie d'avances de vos retours !

Glozi

Invité

Re : Endomorphismes

Bonsoir,
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. Soit $F$ un autre espace vectoriel quelconque, et $y_1,\dots,y_n \in F$ des vecteurs quelconques. (on peut prendre $F=E$ pour ce qui t'intéresse).

Alors il existe un unique morphisme linéaire $f : E \to F$ tel que $f(e_i)=y_i$ pour tout $i$.
En gros, on peut construire un morphisme linéaire en lui spécifiant quelle doit être son image d'une base de l'espace de départ.

Je te laisse prouver l'unicité.
Pour l'existence, il n'y a pas 5000 possibilités, on pose $f(\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i$. Pourquoi est-ce que cette définition fait sens ? Pourquoi $f$ ainsi défini est bien un morphisme linéaire avec les bonnes propriétés ?

Méthode alternative :
Si $E$ de dimension $n$ avec $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. Alors montrer que pour $1\leq i,j\leq n$ il existe un $f_{i,j} : E \to E$ tel que $f(e_i)=e_j$ et $f(e_k)=0$ si $k\neq i$ (faire le lien avec les matrices élémentaire si tu as vu les matrices).
Montrer que $(f_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ forme une base de $\mathcal{L}(E,E)$. En déduire la propriété souhaitée.

Bonne soirée

Bivalve

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Re : Endomorphismes

Merci pour votre retour, même si la méthode alternative reste un peu obscur pour moi, je pense que j'ai bien compris le reste !