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Kaneda

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Morphisme de groupe

Bonjour,

Dans un de mes exos sur les morphismes de groupes, une question qui revient souvent est "Montrer que le morphisme est bien défini", seulement je ne suis pas sûr de comprendre ce que l'on pourrai attendre comme réponse à ce genre de question.. Quelqu'un pour mettre un peu d'huile dans ma lanterne ?

Merci par avance.

Glozi

Invité

Re : Morphisme de groupe

Bonjour,
Je ne connais pas ton niveau, mais je suppose que tu as vu par exemple les groupes additifs $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
Essentiellement, il y a deux problematiques :
1-verifier que le morphisme dont tu parles est bien defini en tant que fonction entre ensemble.

Par exemple : Montrer que $f : \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, x \mapsto 2x$
ne fait a priori aucun sens.
Verifier à contrario que $g : f : \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, x \mapsto 2x$ fait sens.
Et que $h : \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, x \mapsto x^2$ fait sens egalement.

2- verifier que l'application dont tu parles et dont tu as montré qu'elle était bien definie, est en fait un morphisme de groupes.
Ici on peut montrer que $g$ est bien un morphisme de groupe alors que $h$ n'en est pas un !

Bonne journée.

Kaneda

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Re : Morphisme de groupe

Si je comprend bien l'exemple, il s'agit enfaite de montrer que l'application étudié est correctement défini en tant qu'application d'un ensemble à un autre ?

Glozi

Invité

Re : Morphisme de groupe

Un morphisme de groupes est avant tout une fonction ensembliste qui vérifie certaines propriétés supplémentaires (en rapport avec la structure de groupe).
La "chose" $f$ dont je parle échoue à l'étape 1 : elle n'est pas bien "définie" en tant qu'application ensembliste, en effet quelle serait la valeur de $f(\overline{0})$ où $\overline{0}$ est la classe de $0$ modulo $4$ ? quelle serait la valeur de $f(\overline{4})$ où $\overline{4}$ est la classe de $4$ modulo $4$ ?
Conclusion ?
Sinon donne nous l'exemple dont tu parles pour qu'on puisse en discuter.

Kaneda

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Re : Morphisme de groupe

Conclusion : f n'est pas bien définie ! Je crois que je saisis.

Enfaite dans mon exos, il est question d'un morphisme phi de (Z/5Z)* dans le groupe des racine 4ème de l'unité.

Le morphisme en question respecte la condition "Phi ([3]^n)= exp(n*i*pi/2)" ([3] est la classe d'équivalence de 3 modulo 5) (désolé je ne sais pas utiliser Latex j'espère que c'est assez lisible).

La question est de montrer que cette application est correctement définie. Je suppose que ici, l'idée est d'utiliser le fait que [3] génère (Z/5Z)* pour montrer que pour tout élément de (Z/5Z)*, l'application phi est toujours bien définie. Je crois que cela revient un peu à ce que tu m'as expliqué, l'exemple ne colle pas à mon exo mais l'idée de montrer que phi est une application est la même.

Glozi

Invité

Re : Morphisme de groupe

Bonjour,
Si j'ai bien compris ton application est :
$\varphi : (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* \to \mathbb{U}_4$ telle que pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\varphi([3]^n)= e^{ni\pi/2}$
Pour vérifier que cette application est bien une application, il y a trois choses à montrer :
- si $[3]^n = [3]^m$ pour deux entiers $n$ et $m$ alors $e^{ni\pi/2}= e^{mi\pi/2}$ autrement dit, l'expression par laquelle tu définis $\varphi(x)$ ne dépend pas de la manière donc tu as écris $x$.
- il faut vérifier que $\varphi$ est bien une fonction qui part de $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^*$ autrement dit il faut vérifier que $\{[3]^n, n\in \mathbb{Z}\} =  (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^*$, c'est ton argument de dire que $[3]$ génère $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^*$.
- il faut vérifier que $\varphi$ est bien à valeurs dans $\mathbb{U}_4$.

Bonne journée

Kaneda

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Re : Morphisme de groupe

Super ! Merci beacoup ! Excellente journée !