Forum de mathématiques - Bibm@th.net

skywalker27

Membre

Inscription : 27-04-2020

Messages : 31

Sujet Maths 2 CCINP 2023

Bonjour à tous! 

J'ai quelques questions sur le sujet de maths 2 CCINP qui est tombé mardi matin.

C'était pas aussi facile qu'attendu pour du CCP à mon avis, avec un "petit" piège dès la question 2.

Pour le problème, j'ai bloqué à la question 9, pour montrer que chaque pi est un projecteur.

J'ai tenté de montrer que $p_i^2=p_i$ :

$p_i^2 = R_iQ_i(u) • R_iQ_i(u) $ mais je tombe sur $(R_iQ_i)^2(u)$ que je ne parviens pas à simplifier.

Je vous mets le sujet en lien.
Sujet Maths 2

skywalker27

Membre

Inscription : 27-04-2020

Messages : 31

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

Attendez je tiens quelque chose.

On applique le lemme de noyaux au polynôme minimal : $\pi_u$.

On obtient alors une décomposition de E :

$E = \bigoplus _{j=1}^m Ker(P_j^{k_j}(u))$

Puis on vérifie que $p_i$ est une projection sur $Ker(P_i^{k_i}(u))$ parallèlement à $\bigoplus _{j\neq i} Ker(P_j^{k_j}(u))$.

QJ72

Invité

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

Bonjour, j'ai revérifié plusieurs la méthode de calcul pour la question 2 et 3. J'obtiens un résultat négatif lors du calcul de la norme ce qui est impossible ...
Si quelqu'un à la solution.

QJ72

Invité

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

Pour la question 9, pour montrer que les pi sont des projecteurs. On peut appliqué pk à l'égalité obtenu précédemment :
(Somme des pi )* pk = pk. Et on a pi°pj = 0. Donc on obtient pk² = pk. Vrai pour tout k.

skywalker27

Membre

Inscription : 27-04-2020

Messages : 31

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

Pour la question 2, il faut s’assurer de prendre une base de F orthonormée pour le produit scalaire propre à l’exercice.

Ainsi, la base $(1,X)$ doit être orthormalisée par le procédé de Gram-Schmidt.
J’ai trouvé $(1, X-1)$

Pour le projeté de $X^2$ sur F, j’ai trouvé 4X-2.

Pour le minimum de la distance de X, j’ai trouvé 4.

skywalker27

Membre

Inscription : 27-04-2020

Messages : 31

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

Bien vu @QJ72 !

Passer par la décomposition de E grâce au lemme des noyaux est prématuré, car ça répond aussi à la question 11.

skywalker27

Membre

Inscription : 27-04-2020

Messages : 31

Re : Sujet Maths 2 CCINP 2023

J’ai effectué cette preuve pour la question 15, mais ça ne me semble pas être dans l’esprit du sujet, surtout qu’on montre avant ce qu’on doit en déduire.

Question 15: Montrer que $X = \sum_{i=1}^m \frac{\lambda_i Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)} $.

Comme u est diagonalisable, on a la décomposition suivante : $E= \bigoplus _{i=1}^m ker(u-\lambda_i id)$.

Soit $x \in E$. On note: $x = \sum_{i=1}^m x_i $ avec $ x_i \in ker(u-\lambda_i id)$.

Puis $u(x)=  \sum_{i=1}^m u(x_i) = \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i$.

Montrons que $p_i(x) = x_i$.

Le polynôme caractéristique est bien sûr scindé sur C car u est diagonalisable.

Ainsi, on est dans les conditions des questions 10, 11, 12.

Comme $x_i$ est vecteur propre associé à $\lambda_i$, il appartient à $N_i$, et donc à $Im(p_i)$ d’après la question 12.

Comme $p_i$ est un projecteur, on a bien $p_i(x) = x_i$.

Ainsi,

$u(x)= \sum_{i=1}^m \lambda_i p_i(x)$.

Enfin, d’après la question 14, $u(x)= \sum_{i=1}^m \frac{\lambda_i Q_i(u)}{Q_i(\lambda_i)} (x) $.

D’où $u = \sum_{i=1}^m \frac{\lambda_i Q_i(u)}{Q_i(\lambda_i)} $

Ce qui donne, par l’isomorphisme usuel $ P \mapsto P(u) $, $X = \sum_{i=1}^m \frac{\lambda_i Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)} $.

Puis on évalue en u :

$u = \sum_{i=1}^m \lambda_i p_i $.

Dernière modification par skywalker27 (28-04-2023 18:44:36)