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Blubber

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Thales et projections

Bonjour

J'essaie de travailler l'exercice suivant

Soit un triangle $ABC$. Une droite $\mathcal{D}$ parallèle à $(BC)$ coupe $(AB)$ en $E$, $(AC)$ en $F$, et la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ en $G$.

1. Montrer que $$\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}\quad\text{et}\quad\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{EG}}$$

2. Démontrer que $EG=BC$

3. Déduire de a et b que: $$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$

J'ai commencé par faire la figure et si je l'ai réussi ça devrait donner quelque chose comme ceci

Ensuite c'est là où je galère à justifier. Si je comprends bien il faudrait que j'utilise les projections mais je ne vois pas ce que je dois projeter ni où… peut-être bien $(AC)$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$ ? Auquel cas on a $p(A)=A$, $p(F)=E$ et $p(C)=B$ donc d'après le théorème de Thales on trouve bien
$$\frac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AC}}$$
En revanche je ne sais pas comment obtenir la deuxième égalité ni même que $EG=BC$.

Pour c, en utilisant les deux premières égalités de a on a
$$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{EG}$$
soit, comme $EG=BC$ d'après b
$$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}$$

Blubber

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Re : Thales et projections

Du coup personne n'a d'idée ? :(

Pour la question b j'ai compris que j'étais un peut idiot… bien que je ne sache toujours pas le démontrer proprement : $(CG)$ étant parallèle à $(AB)$ et passant par $C$, on a forcément $BC=EG$.

Bernard-maths

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Re : Thales et projections

Bonjour Blubber !

Ne connais-tu point le théorème de Thalès ?

Voici le lien sur Bibmath : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … b&quoi=401

puis "clic" sur "Thalès" !

Petite remarque : dans ta figure il semble que E et F sont les milieux de [AB] et [AC] ... ce n'est pas vrai, refais la en décalant la droite (D) vers la gauche, par exemple ... trace la droite (CG).

Dans les différentes configurations du théorème de Thalès, tu trouveras à traiter les 2 égalités du a).

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (20-04-2023 14:29:52)