Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Moonspeech

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Série convergente bizarre

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en train de réviser mon chapitre de MPSI sur les séries, plus particulièrement je refais un de mes DS et je bloque sur l'exercice suivant :

On considère la série $\sum\limits_{n \in \mathbb{N}}n$, il s'agit dans un premier temps de montrer qu'elle est convergente puis de montrer que sa limite est $l = -\frac{1}{12}$.

Voici comment j'ai attaqué ce problème : Soit $n \in \mathbb{N}$, on a $ 0 \leq |n| = n \leq \frac{1}{n^{-1}}$. On reconnait donc une série de Riemman $\sum\limits_{n \in \mathbb{N}^*}\frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha = -1.$ Or d'après mon cours cette série diverge.

Je pense que mon erreur est dans ma façon d'appliquer le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, peut-être que ma majoration ne convient pas.

En vous remerciant de votre réponse.

Respectueusement,
Moonspeech

Eust_4che

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Re : Série convergente bizarre

Bonjour,

Mais... Le terme général de la série est $ n \longmapsto n$ ?! Comment la série pourrait être convergente dans $\mathbb{R}$ ? Le terme général ne tend pas vers 0. On peut toutefois dire que la série converge dans $\mathbb{R} \cup \{ + \infty \} $ et que sa limite est $+ \infty $, mais ce n'est pas $- 1/ 12$.

E.

Glozi

Invité

Re : Série convergente bizarre

Bonsoir,
Je rejoins ce que dit Eust_4che. La série $\sum_{n\geq 0} n$ diverge, elle diverge même grossièrement ! Je suis curieux de voir l'énoncé précis de cet exercice de DS.

Sinon ce qui suit peut être vu comme un petit détour culturel :

Parfois, quand on a des séries qui divergent au sens usuel, on peut essayer de les rendre convergente en un sens plus faible.
Par exemple $\sum_n (-1)^n$ diverge (grossièrement encore une fois). Mais elle convergera au sens de Cesaro vers $1/2$ (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ces%C3%A0ro).
Autre manière de "rendre convergente" cette série. Poser $a\in ]0,1[$, on constate que $\sum_n (-1)^n a^n$ converge (vers $1/(1+a)$). Et on fait comme si on pouvait intervertir les limites (ce qu'on ne peut pas faire rigoureusement). Puisque $1/(1+a) \xrightarrow[a\to 1^-]{}1/2$ on dit que $\sum_{n}(-1)^n$ converge en un certain sens (faible) vers $1/2$.

Les deux techniques ci dessus echouent tout de même sur $\sum_n n$.
Une manière de voir apparaître le $-1/12$ est la suivante :
On considère $\zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$. La fonction zeta de Riemann. Avec cette expression on voit qu'elle est holomorphe pour $s\in \{z\in \mathbb{C}, Re(z)>1\}$. Après on peut arriver à prolonger de manière holomorphe $\zeta$ à $\mathbb{C}\setminus\{1\}$, (on trouve d'autres expressions holomorphes qui font sens dans un domaine plus large, ou alors on utilise des égalités fonctionnelles).

En particulier on arrive rigoureusement à définir $\zeta(-1)$, et il se trouve que $\zeta(-1)=-1/12$. De là à interpréter cette valeur comme $\sum_{n=1}^\infty n$...
(cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … de_Riemann pour des explications sur le prolongement de la fonction zeta de Riemann).

Aussi voir https://fr.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_% … _%E2%8B%AF pour un petit historique sur cette valeur $-1/12$.

Bonne soirée

Zebulor

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Re : Série convergente bizarre

Bonsoir,
petite curiosité.. ça me rappelle une discussion d'il y a quelques années sur ce site où Michel Coste était intervenu :

https://www.youtube.com/watch?v=GnZQOb9YNV4

Je n'aurais pas cru que ce monsieur était un climato-sceptique

Dernière modification par Zebulor (11-04-2023 20:40:59)

Gui82

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Re : Série convergente bizarre

Bonjour,

On trouve de nombreux posts sur internet expliquant que [tex]\displaystyle "\sum_{n=1}^{+\infty}n=-\frac{1}{12}"[/tex] (je mets des guillemets autour car c'est faux). Les démonstrations de ces posts comportent forcément une erreur à un moment donné.
Pour aller plus loin, on peut voir ce qui motive cette valeur bien particulière en utilisant la fonction Zeta, ou encore le procédé de sommation de Ramanujan qui coïncide avec la somme classique pour les séries convergentes.
Mais cette série est bien divergente, et en tant que série à termes positifs on a [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}n=+\infty[/tex]

Moonspeech

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Re : Série convergente bizarre

Rebonsoir à tous, je vous remercie de vos réponses. Ce post était bien sûr un poisson d'avril (bon ok avec plus d'une semaine de retard T_T). J'ai écris ce post avec un énoncé et une méthode de résolution volontairement absurde pour susciter l'humour.

Néanmoins, comme certains l'ont remarqué la somme $1 + 2 + 3 + \cdots = -\frac{1}{12}$ et un exemple célèbre de $\textit{sommation de Ramanujan}$ (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ramanujan). Comme je l'espérais vous avez donné tous des réponses très intéressantes sur ce sujet, d'ailleurs si vous avez des choses à rajouter n'hésitez pas ! (J'ai cru comprendre qu'il était effectivement possible de donner du sens à cette expression mais dans un contexte très particulier cependant aha mais, cela n'est pas du tout de mon niveau).

Passez une bonne soirée !
Moonspeech

Dernière modification par Moonspeech (11-04-2023 21:09:33)

Gui82

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Re : Série convergente bizarre

Rebonjour,

Ton poisson d'avril me fait penser à une feuille d'exercices sur la fonction Zeta quand j'étais en prépa agreg : on nous demandait de calculer [tex]\displaystyle "\sum_{n=1}^{+\infty}n"[/tex] pour nous suggérer de calculer [tex]\zeta(-1)[/tex] (il y avait bien les guillemets sur la feuille).

Je t'avouerais que je n'ai pas immédiatement vu que c'était une blague, parce qu'il m'est déja arrivé d'argumenter, sans succès, avec des gens convaincus que cette formule est vraie parce qu'ils l'ont vue sur internet (par contre ce n'était pas sur bibmath)

Moonspeech

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Re : Série convergente bizarre

J'ai eu peur de la réception aussi ahah, je ne suis pas un habitué des forums mais comme je suis tombé sur ce site et que je l'apprécie énormément, je me suis dis que ce serait sympa une petite farce. Je ne m'attendais pas à des réponses ausssi 1er degré ceci dit je me suis amusé à voir à quoi ressemble les discussions fermées de ce forum, je veux bien croire que certaines personnes soient moins sympathiques ou que certains débats soient difficiles mdr.

Gui82

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Re : Série convergente bizarre

Dans ce cas tu as du tomber sur le légendaire Alain Ratomahenina :D
Sinon tu n'as pas un compte Tiktok? J'ai vu des vidéos humoristiques et d'aide en maths d'un compte qui parle beaucoup de Bibmaths et je me demandais si c'était toi