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Vincent62

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Principe du maximum

Bonjour,

J'ai des difficultés pour appliquer le principe du maximum.
Par exemple, je dois montrer que pour [tex]r[/tex] strictement positif, [tex]\sup_{z\in C(0,r)} |e^z cos(z)|\ge 1[/tex].

Je note [tex]\bar{D(0,r)}[/tex] l'adhérence du disque [tex]D(0,r)[/tex].

Voici comment je raisonne.
La fonction [tex]f : z\to e^z cos(z)[/tex] est entière en tant que produit de fonctions qui le sont.
En particulier, pour tout r strictement positif, f est continue sur [tex]\bar{D(0,r)}[/tex] et holomorphe sur [tex]D(0,r)[/tex].
Par le principe du maximum, il existe donc [tex]z_0\in C(0,r)[/tex] tel que [tex]|f(z_0)|=\sup_{z\in \bar{D(0,r)}} |f(z)|[/tex].

Ensuite, je dirais qu'en particulier, on a [tex]|f(0)|=1\le \sup_{z\in \bar{D(0,r)}} |f(z)|[/tex].
Ensuite, on a [tex]C(0,r)\subset \bar{D(0,r)}[/tex] et donc [tex]\sup_{z\in \bar{C(0,r)}}\le \sup_{z\in \bar{D(0,r)}}[/tex] n'est-ce pas ?
Je ne vois pas comment conclure.

Qu'est-ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?
Merci !

Dernière modification par Vincent62 (04-04-2023 17:22:15)

Michel Coste

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Re : Principe du maximum

Bonjour,
Tu as fait tout le boulot, et la conclusion est juste sous ton nez : tu as montré que le maximum du module de [tex]e^z\cos(z)[/tex] sur le disque fermé est supérieur ou égal à 1, et le principe de maximum te dit que ce maximum est atteint sur le crcle qui borde le disque. Vraiment, tu ne vois pas ?

Vincent62

Membre

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Re : Principe du maximum

Si, bien sûr, c'est évident... Il est temps d'arrêter pour aujourd'hui me concernant :(
Merci Michel

Dernière modification par Vincent62 (04-04-2023 18:38:14)

Zebulor

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Re : Principe du maximum

Bonsoir,
@Vincent : héhé, tu es plus fort en maths que tu ne le penses..

Bonne soirée

Vincent62

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Re : Principe du maximum

Notons [tex]M[/tex] ce maximum. Alors [tex]M=\sup_{z\in \bar{D(0,r)}} |f(z)|\ge 1[/tex].
D'autre part, il existe [tex]z_0\in C(0,r)[/tex] tel que [tex]|f(z_0)|=M[/tex].
Ainsi, [tex]\sup_{z\in C(0,r)} |f(z)|\ge |f(z_0)|=M\ge 1[/tex], d'où le résultat.