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Vincent62

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Fonction caractéristique bien définie

Bonsoir,

Je considère la fonction de répartition f d'une variable aléatoire X définie sur l'espace probabilisé [tex](\Omega,F, P)[/tex].
Pour tout [tex]t[/tex] réel, on a donc [tex]f(t)=E(e^{itX})[/tex].

J'essaye de comprendre une preuve de "pourquoi f est toujours bien définie".
Pour tout [tex]t[/tex] réel, on a donc que [tex]f(t)=E(cos(tX))+iE(sin(tX))[/tex] en utilisant la linéaire de l'espérance.
Maintenant, les fonctions [tex]h_1 : x\to cos(tx)[/tex] et [tex]h_2 : x\to sin(tx)[/tex] sont continues et bornées sur [tex]\mathbb{R}[/tex], pour tout [tex]t\in \mathbb{R}[/tex]. Ainsi, f est bornée sur [tex]\Omega[/tex].

Pourquoi cela implique-t-il que [tex]f[/tex] est bien intégrable par rapport à [tex]P[/tex] ? Et si [tex]\Omega[/tex] est un espace d'états infini ?

Pouvez-vous m'expliquer ? Merci !

Dernière modification par Vincent62 (30-03-2023 18:13:40)

Glozi

Invité

Re : Fonction caractéristique bien définie

Bonsoir,
En fait, $\mathbb{P}$ est une mesure ... de probabilité !
Ainsi la masse de cette mesure vaut $1$, cela signifie $\mathbb{P}(\Omega) = \int_\Omega 1 \mathbb{P}(d\omega)=1$.
Et donc les fonctions constantes sont bien intégrables pour $\mathbb{P}$ (ainsi donc que les fonctions mesurables bornées).
Bonne soirée

Vincent62

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Re : Fonction caractéristique bien définie

Ahhh oui merci Glozi !!
On procède par comparaison entre fonction intégrable lorsque la fonction est bornée.

Dernière modification par Vincent62 (30-03-2023 20:19:17)