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pentium mix

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Étude des suites recurentes

Bonjour
S'il vous plaît je ne sais vraiment pas comment faire
https://www.cjoint.com/c/MCBk4Dsgwh6 il n'ya pas autre indication
Merci

Dernière modification par pentium mix (30-03-2023 15:08:38)

Ginger40

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Re : Étude des suites recurentes

Bonjour,

Pour montrer qu'une suite définie par récurrence est bien définie, il faut montrer qu'il y a existence et unicité pour tous les termes, et cela se fait par récurrence.
Ici, on veut donc montrer que les $c_n$ et $\lambda_n$ existent et sont bien définis de manière unique pour $n\in\mathbb{N}^*$.
Dans l'hypothèse de récurrence il va donc falloir supposer que $\frac{1+c_n}{2}$ est positif pour pouvoir prendre la racine carrée et définir $c_{n+1}$. Il faut donc $c_n \geq -1$.
Quant à $\lambda_{n+1}$ il faudra supposer que $c_{n+1}$ est différent de $0$ pour bien le définir. Or $c_{n+1} = 0 \iff c_{n} = -1$.

Au final, l'hypothèse de récurrence va ressembler à :
$$
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \mathcal{P}_n \text{ : "$c_n$ et $\lambda_n$ sont bien définis et $c_n>-1$"}
$$

Pour la deuxième partie c'est un peu différent car il n'y a pas de récurrence. Ici il faut surtout montrer que tu peux définir tes deux suites en écrivant $\theta_n = \dots$ et $\alpha_n = \dots$. La bijection de $\cos$ sera très utile pour cela.

pentium mix

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Re : Étude des suites recurentes

Justement comment définir On et &n .

Je ne sais pas comment les choisir pour que ça marche

Ginger40

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Re : Étude des suites recurentes

Justement comment définir On et &n .

Je te conseille d'essayer de rédiger en LaTeX, ça aidera à la compréhension (même si j'ai compris que c'est $\theta_n$ et $\alpha_n$), ce n'est pas très compliqué et yoshi a fait un petit tuto pour débuter ici. (Petite astuce : pour connaître le code lié à une formule LaTeX écrite sur un post, on peut faire clique droit, Show Maths As, TeX Commands)

Sinon, comme je l'ai dit il faut utiliser $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$, ce sont les mêmes fonctions) pour définir $\theta_n$.
Essaie d'appliquer d'abord formellement $\arccos$ à $c_n = \cos(\theta_n)$ pour trouver à quoi $\theta_n$ serait à priori égal.
Puis de manière rigoureuse (i.e. en regardant l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de $\arccos$), montre que tu peux définir de manière unique un $\theta_n$ vérifiant $c_n = \cos(\theta_n)$ et $\theta_n \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

Dernière modification par Ginger40 (27-03-2023 22:40:15)

pentium mix

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Re : Étude des suites recurentes

Justement comment définir On et &n .

Je te conseille d'essayer de rédiger en LaTeX, ça aidera à la compréhension (même si j'ai compris que c'est $\theta_n$ et $\alpha_n$), ce n'est pas très compliqué et yoshi a fait un petit tuto pour débuter ici. (Petite astuce : pour connaître le code lié à une formule LaTeX écrite sur un post, on peut faire clique droit, Show Maths As, TeX Commands)

Sinon, comme je l'ai dit il faut utiliser $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$, ce sont les mêmes fonctions) pour définir $\theta_n$.
Essaie d'appliquer d'abord formellement $\arccos$ à $c_n = \cos(\theta_n)$ pour trouver à quoi $\theta_n$ serait à priori égal.
Puis de manière rigoureuse (i.e. en regardant l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée de $\arccos$), montre que tu peux définir de manière unique un $\theta_n$ vérifiant $c_n = \cos(\theta_n)$ et $\theta_n \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

D'accord
Merci bien

Michel Coste

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Re : Étude des suites recurentes

je ne sais vraiment pizzas comment faire

Alors il faut suivre une formation de pizzaïolo.