Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Vincent62

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Idéal maximal, exemple bibmath

Bonjour,

Je travaille sur la notion d'idéal maximal dans un anneau commutatif. Pour cela, j'essaye de comprendre l'exemple proposer dans le dico bibmath, à savoir : dans [tex]A=\mathbb{Z}[/tex], [tex]3\mathbb{Z}[/tex] est un idéal maximal.
Je ne comprends pas pourquoi, dans l'exemple du dictionnaire, le fait que [tex]3\mathbb{Z}\subset I[/tex] implique qu'il existe [tex]k\in I[/tex] tel que [tex]pgcd(3,k)=1[/tex].

J'essaye donc de décortiquer la preuve.
Supposons donc qu'il existe un idéal [tex]I[/tex] de [tex]A[/tex] tel que [tex]3\mathbb{Z}\subset I[/tex].

Puisque [tex]I[/tex] est un idéal de [tex]A=\mathbb{Z}[/tex], alors il est principal, et il existe donc [tex]p\in \mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]I=p\mathbb{Z}[/tex].
Nous avons donc par hypothèse que [tex]3\mathbb{Z}\subset p\mathbb{Z}[/tex].
En particulier, [tex]3\in p\mathbb{Z}[/tex], et donc il existe [tex]k\in \mathbb{Z}[/tex] tel que [tex]3=pk[/tex].

Est-ce que jusque-là, tout va bien ?

Merci beaucoup.

Dernière modification par Vincent62 (27-03-2023 09:27:00)

Michel Coste

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Re : Idéal maximal, exemple bibmath

Bonjour,

Oui, et ensuite ?

Vincent62

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Re : Idéal maximal, exemple bibmath

Ah bah oui, c'est fini : puisque [tex]3[/tex] est premier, alors [tex](p,k)=(1,3)[/tex] ou [tex](p,k)=(3,1)[/tex].

Si [tex](p,k)=(1,3)[/tex], alors [tex]I=\mathbb{Z}[/tex] et donc [tex]3\mathbb{Z}[/tex] est maximal.
Si [tex](p,k)=(3,1)[/tex], alors [tex]I=3\mathbb{Z}[/tex] et donc [tex]3\mathbb{Z}[/tex] est maximal.

Michel Coste

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Re : Idéal maximal, exemple bibmath

Curieux raisonnement...
Tu as montré que [tex]p[/tex] divise 3. Donc ou bien [tex]p=\pm3[/tex] et [tex]I=3\mathbb Z[/tex], ou bien [tex]p=\pm1[/tex] et [tex]I=\mathbb Z[/tex].

Dernière modification par Michel Coste (27-03-2023 10:49:20)

Vincent62

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Re : Idéal maximal, exemple bibmath

Oui, comme dirait Perseval, c'est pas faux !
Merci en tout cas pour ton aide :)

Dernière modification par Vincent62 (27-03-2023 11:01:05)