Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Météore radieux

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CNS de continuité d'une application sur un evn

Bonjour à tous,
Dernièrement, j'ai repris l'exercice suivant :

Soit f une application de E dans F, avec E et F deux K-evs.
Montrer que :
f est continue ssi pour tout A une partie de E, f(adh(A)) inclus dans adh(f(A)).

adh désigne l'adhérence.

Pas de soucis pour le sens direct par caractérisation séquentielle.

Cependant, pour le sens réciproque je bloque un peu. J'ai essayé de raisonner par l'absurde en prenant la négation de la définition quantifiée de la continuité de f. Je dispose alors d'un point a, d'un epsilon>0 et d'une suite (x_n) tels que :

pour tout n dans N, f(x_n) \in f(Bf(a, 1/n))
f(x_n) "not in" Bf(f(a), epsilon)

Cependant je n'arrive pas à conclure à une absurdité et en particulier à utiliser l'hypothèse sur les boules, et plus précisément je ne vois pas clairement le lien entre l'image de la boule et la boule centrée en f(a), f n'étant pas continue.

Auriez-vous des suggestions pour conclure s'il vous plaît ? Merci beaucoup de m'avoir lu.

Eust_4che

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Messages : 185

Re : CNS de continuité d'une application sur un evn

Bonjour,

Tu peux procéder comme ceci pour démontrer la réciproque. Suppose que $f$ n'est pas continue en un point $x_0$ et considère une boule $B$ aquédate contenant $f(x_0)$. Tu devrais pouvoir conclure en utilisant le complémentaire de $f^{-1}(B)$ dans $E$ (à condition de bien choisir $B$).

Bon courage !

Eust_ache

Dernière modification par Eust_4che (23-03-2023 14:33:23)

Michel Coste

Membre Expert

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Messages : 1 473

Re : CNS de continuité d'une application sur un evn

Bonjour,

Il suffit de montrer que pour tout fermé [tex]A[/tex] de [tex]F[/tex], [tex]f^{-1}(A)[/tex] est fermé (une caractérisation de la ciontinuité).
Autrement dit, montrer que l'adhérence de [tex]f^{-1}(A)[/tex] est contenue dans [tex]f^{-1}(A)[/tex]. Ça vient presque tout seul.