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Wassf

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Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Bonjour,

La famille produit de deux séries absolument convergentes dans une algèbre de Banach ($\left\| xy \right\| \le \left\| x \right\| \left\| y \right\|$)
est abs.cv. (car le produit algébrique y est bilinéaire continu).

Qu'en est-il dans une algèbre complète (sans la sous-multiplicativité de la norme) ?
Je pense que le résultat ne persiste pas, mais je n'ai pas de contre-exemple !

(je ne parle pas du produit de convolution/Cauchy, mais bien de la famille produit $(u_p v_q)_{p,q\in \mathbb{N}^2}$)

Merci.

Dernière modification par Wassf (17-03-2023 23:04:48)

Glozi

Invité

Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Bonjour,
C'est une question assez intéressante.
Introduisons quelques notations : $E$ désigné l'algèbre complète et $\Vert \cdot \Vert$ la norme qu'on met dessus (elle rend $E$ complet, mais elle n'est pas forcément supposée sous multiplicative).

En fait tout se joue sur la multiplication $M : E\times E \to E, (x,y)\mapsto xy$.

Si $M$ est continue en $(0,0)$, alors il existe $C>0$ telle que $\forall x,y\in E, \ \Vert xy\Vert \leq C \Vert x \Vert \Vert y \Vert.$ et donc il n'y a pas le contre exemple que tu cherches.
Si $M$ n'est pas continue en $(0,0)$, alors il existe $\varepsilon >0$ et deux suites $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ de $E$, telles que $\Vert x_n\Vert \leq 2^{-n}$, $\Vert y_n\Vert \leq 2^{-n}$ et $\Vert x_n y_n\Vert \geq \varepsilon$. De là, le contre exemple en considérant le produit de la suite $x$ avec la suite $y$.

Ainsi, il faut et il suffit de trouver une algèbre complète pour une certaine norme telle que la multiplication ne soit pas continue en $(0,0)$.

Pour cela une idée (qui n'est pas de moi) est de partir de $E_0 = \mathbb{R}^{(\mathbb{N})}$ l'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang.
On considère deux normes dessus :
$\Vert u \Vert_1 := \sum_{n=0}^\infty |u_n|$ et $\Vert u \Vert_2 := \Vert u \Vert_1 + \sum_{n=0}^\infty n|u_{2n}|$.

On considère $E_1$ le complété de $E_0$ pour $\Vert\cdot \Vert_1$ et $E_2$ le complété de $E_0$ pour $\Vert \cdot \Vert_2$.
(NB : en fait $(E_1, \Vert \cdot \Vert_1)$ est juste l'espace $\ell^1(\mathbb{N})$ muni de sa norme $\ell^1$ usuelle).

On considère $S_1$ et $S_2$ des supplémentaires (par l'axiome du choix ils existent) de $E_0$ dans $E_1$ et de $E_0$ dans $E_2$.
Ainsi $E_1 = E_0 \oplus S_1$ et $E_2 = E_0 \oplus S_2$.

Il est clair que $E_0$ est de dimension dénombrable (une base en est $(\delta_n)_{n\in \mathbb{N}}$).
Or $E_1$ et $E_2$ sont des Banach et donc sont de dimension non dénombrable (par Baire). En fait on peut voir qu'ils ont la même dimension (celle du continu), c'est un petit résultat sur les Banach.

On en déduit que deux bases de Hamel de $S_1$ et $S_2$ ont même cardinal.

On considère alors $\varphi : S_1 \to S_2$ un isomorphisme d'espaces vectoriels (qui envoie une base de Hamel sur l'autre).

On définit alors un isomorphisme d'espace vectoriels entre $E_1$ et $E_2$ par :
$\Phi : E_0\oplus S_1 \to E_0 \oplus S_2, x_0\oplus x_1 \mapsto x_0\oplus \varphi(x_1)$.

À présent on muni $E_1$ de la norme $\Vert x \Vert := \Vert \Phi(x) \Vert_2$.

Notons que $(E_1, \Vert \cdot \Vert)$ est en isométrie (via $\Phi$) avec $(E_2, \Vert \cdot \Vert_2)$ qui est un espace de Banach (complet). Ainsi $(E_1, \Vert \cdot \Vert)$ est complet.

Maintenant on définit le produit de deux éléments $u$ et $v$ de $E_1$ comme leur produit de convolution, c'est bien défini car en fait $E_1 = \ell^1(\mathbb{N})$ en tant qu'ensemble.

$E_1$ muni de cette norme $\Vert \cdot \Vert$ et de cette multipliction, est une algèbre complète, mais la multiplication n'est pas continue.

En effet, $\Vert \delta_1 \Vert = \Vert \Phi(\delta_1)\Vert_2 = \Vert \delta_1 \Vert_2 = 1$, et de même on vérifie que $\Vert \delta_{2n}\Vert =  1+n$ et $\Vert \delta_{2n-1}\Vert = 1$.
Or $\delta_1 \star \delta_{2n-1}=\delta_{2n}$ (produit de convolution). Ce qui montre la non continuité du produit pour $\Vert \cdot \Vert$.

Sauf erreur de ma part car ce n'est pas du tout mon domaine.

Si quelqu'un a un autre exemple d'une algèbre complète pour une norme mais dont la multiplication n'est pas continue je suis preneur !

Bonne journée

Wassf

Membre

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Messages : 6

Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Oh, axiome du choix$^2$ ! What else ?
Moi et mes gribouillis de suites de polynômes.. c'est mignon !

Merci, c'est excellent. Bien expliqué.

Je ne vois rien de discutable (à part le coté abstrait, ai-je déjà mentionné l'usage répétitif de l'axiome du choix ?)

Juste une petite remarque sur le produit de convolution dans $(E_1, \Vert \cdot \Vert)$ : il ne doit rien à l'identité de $E_1$ et de $\ell^1(\mathbb{N})$ (d'autant plus que $\Vert \cdot \Vert_1 \le \Vert \cdot \Vert_2$ par construction, et pas l'inverse, $\Vert \cdot \Vert$ passant par $\Vert \cdot \Vert_2$), tout à la complétude : le pdt. de convolution de deux suites abs.cv. est tout de suite abs.cv. dans une algèbre complète. À ce titre il est "plus sympa" que le produit algébrique qui lui demande en plus la continuité.

Il est amusant de constater qu'un moyen efficace (mais abstrait, décidément) de compléter $E_0$ est de le plonger par isométrie dans $\mathcal{F}(E_0,\mathbb{R})$. Sacrées isométries.

Pour ceux qui ne veulent pas plisser les yeux, si $u=\delta_{2n}$, $u_k\neq 0$ seulement lorsque $k=2n$, donc lorsque $i=n$ dans $\sum_{i=0}^\infty i|u_{2i}|$. D'où $\Vert \delta_{2n}\Vert_2 = 1+n$.

De qui est l'idée sinon ?

Dernière modification par Wassf (18-03-2023 23:26:27)

Glozi

Invité

Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Bonjour,
Pour l'axiome du choix, je reconnais que je ne rebute plus du tout à l'utiliser quand on fait de l'analyse sur des espaces de dimension infinie, sinon je trouve ça embêtant de ne pas pouvoir construire des supplémentaires ou de na pas pouvoir utiliser le théorème de Hahn Banach par exemple, mais je pense qu'il est toujours bon d'avoir conscience que cet axiome a été utilisé pour tel ou tel résultat (je me demande si on ne pourrait pas construire un contre exemple explicitement à ton problème sans l'axiome du choix ?)

Sinon je n'ai pas compris ta remarque sur le produit de convolution, je dis que les éléments de $E_1$ sont les même que ceux de $\ell^1(\mathbb{N})$, ainsi on si j'ai deux éléments $u$, $v$ de $E_1$ (ce sont des suites sommables), alors le produit de convolution $u\star v$ est encore un élément de $E_1$ (le produit est bien interne, et on vérifie aisément que c'est bien un produit qui fait de $(E_1, +,\star,.)$ une algèbre.

Par exemple, sauf erreur de ma part on peut trouver $u,v \in \ell^2(\mathbb{N})$ telles que $u \star v$ ne soit pas dans $\ell^2(\mathbb{N})$ (le produit n'est pas interne).

Sinon en farfouillant sur internet j'étais tombé sur un forum avec ce lien, c'est là où j'ai trouvé cette construction.

Bonne journée

Wassf

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Messages : 6

Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

C'était juste ma façon de souhaiter un contre-exemple plus terre-à-terre (que je suis incapable de trouver !).
Il va de soi que l'axiome du choix est un citoyen ordinaire au pays des espaces de dim.infinie, je partage ta réflexion.

Merci pour le lien. C'est une traduction automatique (avec massacre du code MathML) de cette réponse (*) de Ryszard Szwarc, un prof de l'institut de Mathématiques de l'Académie des Sciences de Pologne. Ta présentation est plus reposante que son style pressé (ce qui n'enlève rien au brillant de sa trouvaille).

La réponse suivante de José Carlos Santos est intéressante : il donne l'exemple de $A=\left[\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right]$ dans $\Bbb R^4$ pour la norme infinie : $\left\|A^2\right\|_\infty=\left\|\left[\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}\right]\right\|_\infty=2\gt 1 = \left\|A\right\|_\infty$, et $(\Bbb R^4,\left\|.\right\|_\infty)$, bien que complet, n'est ainsi pas algèbre de Banach.
Évidemment cet exemple ne convient pas car le produit est quand-même continu, comme tout ce qui est multilinéaire en dim.finie.

Pardon pour ma remarque brouillonne : j'ai lu/compris ta phrase de travers.
Je faisais allusion au fait suivant (qui ne s'applique pas ici) (j'explicite ce que tu dis sur la stabilité de $(E_1,\star)$) :
Si $(E,\left\|.\right\|)$ (ici $(\Bbb R,|.|)$) est une algèbre (complète ou pas), $(\ell^1(\Bbb N,E),\star)$ est toujours stable pour $\left\|.\right\|_1$.
Ceci par simple inégalité triangulaire de $\left\|.\right\|$ : si $c=u\star v$,  la somme partielle $\sum \left\|c_i\right\|$ $\le (\sum \left\|u_i\right\|)(\sum \left\|v_i\right\|)$ $\le \left\|u\right\|_1 \left\|v\right\|_1$, car $\left\|x\right\|_1 = \sup \sum \left\|x_i\right\|$.
(La complétude est cependant "pratique" pour la convergence des opérandes ! En effet $E$ est complet ssi toute série abs.cv. est cv.).
$\left\|.\right\|_1$ (norme de la cv.abs.) est ainsi "bénite" pour ne jamais avoir à se justifier par rapport à la convolution.

Ici cette "bénédiction" se transmet à $\Vert . \Vert$ via $\Phi$, par construction ($u\star v \in (E_1,\left\|.\right\|_1) \Rightarrow \Phi(u\star v) \in E_2 $ $\Leftrightarrow  u\star v \in (E_1,\left\|.\right\|)$).

* : question 4433863 de https://math.[l'échange de pile] (traduire en anglais), le forum n'accepte pas que ce site (spécialisé en maths, avec des participants brillants) soit mentionné ! (considéré spam !)

Dernière modification par Wassf (20-03-2023 19:05:07)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Bonsoir,

question 4433863 de https://math.[l'échange de pile] (traduire en anglais), le forum n'accepte pas que ce site (spécialisé en maths, avec des participants brillants) soit mentionné !

Il fut un temps où nous avons subi une attaque de spams vantant en anglais des médicaments ou annoncés comme tels.
J'avais à peine le temps de supprimer un spam et de bannir son auteur, qu'un autre apparaissait.
J'ai collectionné les adverbes, les prépositions les plus courantes en anglais, puis les ai inscrits dans une base de données de mots bannis, dans un anti-spam maison.
Redoutablement efficace... mais avec dommage collatéral !

Il te reste la solution de chercher le ou les mots en cause puis d'y glisser un tiret, un point, un underscore (AltGr +8)...
Ce que ne savent pas faire les bots...
Quant aux mecs derrière, ils ont autre chose à faire qu'à faire ce type de recherche.

Autre solution : faire une image N&B et pas d'1,5 m sur 0,80 m si bruts de smartphones...
Uploader cette image sur https://www.cjoint.com et nous poster le code obtenu en retour, ou par ex zupimages (choisir la 2e option et l'encadrer par les tags url /url)...

   Yoshi
- Modérateur -

[EDIT]
Ces traductions passent:
battery exchange
battery replacement
battery switch
battery swap

Avec pile dans le sens de tas.
pile exchange
exchange of piles
exchange of heaps

alors ?

Dernière modification par yoshi (20-03-2023 19:24:32)

Wassf

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Re : Famille produit d'absolument convergents dans une algèbre complète.

Bonsoir,

Merci pour l'explication.
Je comprends tout à fait.

Petite suggestion : un 1ère ligne : allow(white list d'URLs de "copains").