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Glozi

Invité

Encore une stratégie à trouver

Bonjour,
Voici une nouvelle énigme, (qui peut être vue comme une suite un peu plus compliquée de https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15874).
Elle requiert à mon avis une connaissance de quelques notions mathématiques (notamment il est bon de connaitre la loi uniforme sur un segment $[0,M]$, de savoir ce qu'est l'espérance en proba, et de savoir calculer des intégrales élémentaires, du genre $\int_a^bxdx$).

Vous êtes encore à un jeu TV, puisque vous avez brillamment trouvé la stratégie optimale au jeu précédent, alors le présentateur à complètement changé les règles.

Vous êtes sur votre fauteuil, au milieu de la scène. En coulisse se tient un assistant avec une pancarte sur laquelle est écrite un montant uniformément distribué dans l'intervalle $[0,M]$ avec un $M>0$ fixé (c'est une donnée connue du problème), pour simplifier vous pouvez supposer que $M=1000€$.

L'assistant rentre sur scène et vous prenez connaissance du montant sur sa pancarte.
Vous avez alors le choix :
- accepter le montant et le jeu se termine.
- refuser le montant, et l'assistant revient avec une nouvelle pancarte, indépendantes des précédentes, sur laquelle est toujours écrit un montant uniformément distribué dans l'intervalle $[0,M]$ et le même choix vous est à nouveau proposé.

Le truc, c'est que le présentateur se doute bien que vous allez attendre de voir écrit un montant très proche de $M$ avant de vous arrêter, aussi il décrète que si vous acceptez à l'étape $n$, alors votre montant sera en fait multiplié par $p^n$. (avec un $p\in ]0,1[$ une autre donnée connue du problème).

Autrement dit, si par exemple $p=0.9$ alors à l'étape $0$, 1€ proposé vaut bien 1€ réel, mais à l'étape suivante, 1€ proposé vaut seulement 0.9€, puis à l'étape $2$, 1€ proposé vaut seulement 0.81€ etc...

Question : en fonction de $M>0$ et $p\in ]0,1[$ quelle serait une stratégie qui permet de maximiser l'espérance de son gain (c'est à dire la somme qu'on gagne en moyenne).

Exemple 1 : Si la stratégie est de tout le temps accepter la première offre, alors l'espérance du gain vaut $M/2$ (c'est l'espérance d'une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,M]$), mais on peut faire mieux !
Exemple 2 : Si $M=100$ et $p=0.9$ et que votre stratégie est d'accepter la première offre si elle est supérieur à 50€ et sinon prendre la deuxième, alors l'espérance du gain vaut 60€ (petit calcul) mais on peut encore mieux faire.

Bonne chance !

Glozi

Invité

Re : Encore une stratégie à trouver

Bonjour,
Cela fait quelques jours et je donne donc, pour celles et ceux qui veulent, un petit indice pour se mettre sur une piste.

▼petit indice

On verra que la stratégie optimale consiste pour la première proposition à l'accepter si cette dernière est supérieure à un certain $\ell \in [0,M]$.
Autrement, si au premier tour on me propose mieux que $\ell$, alors j'accepte, sinon je refuse puis [...]

Déjà on pourrait déterminer quel $\ell$ choisir en fonction de $M$ et $p$.

Bonne journée

frednt59240

Invité

Re : Encore une stratégie à trouver

Stratégie optimale : Accepter la première proposition si elle est supérieure à un certain ℓ∈[0,M]. Autrement, si au premier tour on me propose mieux que ℓ, alors j'accepte, sinon je refuse puis j'accepte la première proposition supérieure à celle de ℓ dans les tours suivants. Le choix de ℓ peut être déterminé en fonction de M et p.

Glozi

Invité

Re : Encore une stratégie à trouver

Bonjour,
Oui c'est bien ça, un calcul (lequel ?) permet de déterminer $\ell$. Reste aussi à montrer que cette stratégie est bien optimale !
Bonne journée