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Lmax

Invité

Petit problème sur les nombres de Fermat

Bonjour à tous,

Tout d’abord voici l’énoncé de mon probleme:
Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] et [tex]F_n = 2^{2^{n}} + 1[/tex]. Soit [tex]p[/tex] un facteur premier de [tex]F_n[/tex].
Montrer de [tex]p-1[/tex] est un multiple de [tex]2^{n+1}[/tex]

J’ai déjà trouvé que comme [tex]2^{2^{n+1}} - 1 = (2^{2^{n}} + 1)(2^{2^{n}} - 1)[/tex], on a que l’ordre du groupe engendré par [tex]\bar{2} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] divise [tex]2^{n+1}[/tex] et [tex]p-1[/tex].
De plus si [tex]F_n[/tex] est premier alors il est évident que [tex]2^{n+1} | F_n - 1[/tex]

Malheureusement, je n’arrive pas à trouver l’argument permettant de conclure sur le fait que [tex]2^{n+1} | p-1[/tex]. Par exemple en montrant que l’ordre de [tex]<\bar{2}>[/tex] est [tex]2^{n+1}[/tex]
Une petite indication serait la bienvenue.

Merci par avance.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Petit problème sur les nombres de Fermat

Bonjour,
Piste :
L'ordre multiplicatif de 2 modulo [tex]p[/tex] est une puissance de 2, disons [tex]2^k[/tex].
Peut-on avoir [tex]k\leq n[/tex] ?

Lmax

Invité

Re : Petit problème sur les nombres de Fermat

Merci du coup de pouce.

Je tente une démonstration par l’absurde.

Montrons [tex]k>n[/tex], en supposant par l’absurde que [tex]k \le n[/tex].
Puisque l’ordre du groupe multiplicatif [tex]<\bar{2}>[/tex] est [tex]2^k[/tex]. On a [tex]2^{2^{n+1}} \equiv 2^{2^{k}} \mod p[/tex] [tex](*)[/tex], or comme [tex]p[/tex] est premier et différent de 2 car tous les [tex]F_n[/tex] sont impairs. La relation [tex](*)[/tex] est alors absurde.
S’ensuit que [tex]k > n[/tex] donc l’ordre de [tex]<\bar{2}>[/tex] est bien [tex]2^{n+1}[/tex]

Un petit retour sur cette démonstration serait sympathique.

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Petit problème sur les nombres de Fermat

1°) Peux-tu démontrer que l'ordre multiplicatif de 2 modulo [tex]p[/tex] est une puissance de 2 ?
2°) Pourquoi est-ce que (*) est absurde ?

Lmax

Invité

Re : Petit problème sur les nombres de Fermat

1) Comme [tex]2^{2^{n+1}} - 1 = (2^{2^{n}} + 1)(2^{2^{n}} - 1) \equiv 0 \mod p [/tex] l’ordre de [tex]<\bar{2}>[/tex] divise [tex]2^{2^{n+1}}[/tex]. C’est donc une puissance de 2.

2) Après réflexion, [tex](*)[/tex] n’est pas absurde car a priori [tex]p[/tex] peut être égale à [tex]2^{2^{n+1} - 2^{k}} - 1[/tex] sauf pour [tex]k=0[/tex], car [tex]2^{2^{0}}\equiv 2 \mod p[/tex], ou [tex]k=n[/tex] car [tex]p[/tex] ne peut être égale à [tex]2^{2^{n}}-1[/tex].

Mais alors je ne vois pas comment montrer que [tex]k \le n[/tex] est absurde.
Pourrais-je avoir une indication supplémentaire ?

Merci

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Petit problème sur les nombres de Fermat

OK pour 1°)
Ensuite : [tex]p[/tex] divise [tex]2^{2^k}-1[/tex] et on suppose [tex]k\leq n[/tex]. Il divise aussi [tex]2^{2^n}+1[/tex] ...