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maths48

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exercices de probabilités

Bonjour,

J'ai un exercice de probas à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/MCsq6ofOKIF

Voici ce que j'ai fait :

1. La fonction de répartition est : F_X(x) =  0 si x < 0, 1 si x -> infini, (1 - exp(-[tex]\lambda[/tex]x) 1_{[0, +infini[}(x)
Pour le dernier, il suffit d'intégrer la densité f_X(x) = [tex]\lambda[/tex]exp(-[tex]\lambda[/tex](x)1_{[0, +infini[}(x)

2.Je sais que le moment d'ordre k existe si X^k >= 0 ou si X^k est intégrable. Si j'ai bien compris, il faut montrer que l'intégrale de |X^k| dx converge. Le problème est que je trouve une limite égal à l'infini...

3. C'est bon

4. X est à valeurs dans [0, +infini[ donc aX, a un réel est à valeurs dans [0, +infini[.
P(aX <= k) = P({a <= k}inter{X <= K}) = P(a <= k)*P(X <= K) = P(a <= k)*(1 - exp(-[tex]\lambda[/tex])a)
Le problème c'est que je n'arrive pas à trouver P(a <= k) comme a appartient à un ensemble infini...

5. J'ai d'abord la fonction de répartition de Y qui est égale à [tex]\frac{sqrt(2)}{sqrt(2*pi)}\int_{-\infty}^{x}\,\exp(-1/2)*2t²\,dx[/tex]

Y² a pour support R⁺. J'ai voulu calculer la fonction de répartition de Y² pour ensuite la dériver et pour trouver sa densité mais je n'ai pas réussi... Y-a-t-il une autre méthode ?

6. J'ai pensé à additionner les densités de Y² et Z² mais je n'obtiens pas grand chose. Je ne sais pas trop comment procéder car jusqu'ici je fais ce genre de calcul avec des variables aléatoires discrètes.

Pourriez-vous m'éclairer ? 

Merci d'avance,
Bonne soirée

Dernière modification par maths48 (18-03-2023 18:52:44)

Fred

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Re : exercices de probabilités

Bonjour,

Bonjour,

J'ai un exercice de probas à faire dont voici l'énoncé : https://www.cjoint.com/c/MCsq6ofOKIF

Voici ce que j'ai fait :

1. La fonction de répartition est : F_X(x) =  0 si x < 0, 1 si x -> infini, (1 - exp(-[tex]\lambda[/tex]x) 1_{[0, +infini[}(x)
Pour le dernier, il suffit d'intégrer la densité f_X(x) = [tex]\lambda[/tex]exp(-[tex]\lambda[/tex](x)1_{[0, +infini[}(x)

2.Je sais que le moment d'ordre k existe si X^k >= 0 ou si X^k est intégrable. Si j'ai bien compris, il faut montrer que l'intégrale de |X^k| dx converge. Le problème est que je trouve une limite égal à l'infini...

Tu n'as pas bien compris....
Si $X$ est une variable aléatoire discrète, pour calculer son espérance, tu ne fais pas $\sum_k k...$. Tu fais $\sum_k k P(X=k).$
Et bien c'est la même chose pour une variable aléatoire continue.
Comme je ne sais pas ce que tu sais (on peut présenter les probas de bien des façons différentes), c'est un peu compliqué pour moi de faire référence à quelque chose de précis qu'il y a dans ton cours, peut-être un résultat appelé le théorème de transfert?

Dans tous les cas, dans ton cours, tu devrais avoir que si $X$ est une variable aléatoire à densité $f,$
alors
$$E(|X|^k)=\int_{\mathbb R}|x|^k f(x)dx.$$
Et d'un coup, ça va aller beaucoup mieux pour démontrer la convergence de cette intégrale....

F.

maths48

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Re : exercices de probabilités

Bonsoir,

Merci de votre réponse !

J'ai montré la convergence en utilisant la croissance comparée. En revanche pour calculer les moments de X je dois quand même calculer l'intégrale ? Je ne suis pas sûr de bien comprendre...

Merci d'avance,
Bonne soirée

Fred

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Re : exercices de probabilités

Oui tu dois calculer l'intégrale ce qu'on peut faire par récurrence...

maths48

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Re : exercices de probabilités

Bonjour, merci de votre réponse.

Voici ce que j'ai fait, qu'en pensez-vous ?
https://www.cjoint.com/c/MCtjgRbaqSF

Bonne journée

Fred

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Re : exercices de probabilités

Re-

  On pourrait (devrait?) ajouter des détails, comme justifier qu'on a bien le droit de faire une IPP avec ces intégrales impropres,
mais en tout cas c'est le bon résultat.

Pour la question 4., je ne comprends pas du tout ce que tu as fait (ni ce que tu as voulu faire).
On n'a pas du tout $P(aX\leq k)=P(\{a\leq k\}\cap \{X\leq k\})$....
Cela viendrait de quelle propriété???? En plus, tu confonds des vaches et des fermes : $a$ est un réel, ce n'est pas une variable aléatoire.....
Simplement, comment traduire sur $X$ l'inégalité $aX\leq k$???

F.

maths48

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Re : exercices de probabilités

Re, merci !

Voici ce que j'ai fait : https://www.cjoint.com/c/MCtoSZ6HMLF

Qu'en pensez-vous ?

Bonne après-midi

Fred

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Re : exercices de probabilités

Ok.

maths48

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Re : exercices de probabilités

Merci. J'ai quand même une question sur ce que j'ai envoyé : ne faudrait-il pas faire une disjonction des cas a > 0 et a < 0 ? Selon le signe de a le sens de l'inégalité change donc j'ai un doute...

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

Fred

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Re : exercices de probabilités

Il me semble que dans ton énoncé tu as écrit que a devait être positif. Si on peut avoir a nul il faut distinguer ce cas.

maths48

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Re : exercices de probabilités

Je me suis trompé, a est un réel. Merci.

Pour la 5, j'ai fait ceci : https://www.cjoint.com/c/MCttltvLHJF

Qu'en pensez-vous ?

Bonne soirée

Dernière modification par maths48 (19-03-2023 20:12:08)

Fred

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Re : exercices de probabilités

Ton calcul fonctionne si $t>0.$ Si $t\leq 0$, tu peux tout simplement remarquer que $F_{Y^2}(t)=0$.

Si $a$ peut être réel, il faut alors effectivement traiter 3 cas différents : $a>0,$ $a=0$, $a<0$.

F.

maths48

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Re : exercices de probabilités

D'accord, merci, j'ai corrigé ce que j'avais fait.

Pour la question 6, j'ai calculé la densité de Y² + Z² :
https://www.cjoint.com/c/MCupbvEp6HF

Est-ce correct ?

Merci d'avance,
Bonne après-midi