Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Polynômes dans R[X]

Bonjour à tous,
J'essaie de comprendre la correction de l'exercice 5 du lien suivant :
https://www.bibmath.net/ressources/inde … &type=fexo

Dès le début, je ne comprends pas pourquoi P = X - a. En effet, pourquoi P possède forcément un coefficnet dominant égal à 1 ?
Ne peut-on pas écrire P = bX - a avec b, a dans R ?

je vous remercie pour tous vos retours.

Glozi

Invité

Re : Polynômes dans R[X]

Bonjour,
Je pense que tu as raison,
On suppose $P(X)=bX+a$ avec $b,a\in \mathbb{R}$ et $b\neq 0$.

On pose $(*) : \forall x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q},\ \ P(x)\in \mathbb{Q}$.

Si tu es un peu familier avec les cardinaux (en particulier $\mathbb{Q}$ est dénombrable alors que $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ ne l'est pas).
Tu peux observer que puisque $x\mapsto bx+a$ est injective alors $\{P(x), x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$ est une partie non dénombrable de $\mathbb{R}$ et donc n'est pas incluse dans $\mathbb{Q}$ ce qui donne tout de suite la conclusion : $(*)$ n'est pas vérifiée.

(notons que cet argument d'adapte si $deg(P)\geq 1$, en regardant $\{P(x), x\in [A,+\infty[\setminus \mathbb{Q}\}$, où $A>0$ est choisi tel que $P$ est soit strictement monotone (et donc injective) sur $[A,\infty[$).

Sinon si tu n'es pas familier avec ce genre de raisonnement, on fait une preuve par l'absurde en s'inspirant de ce qui est fait dans le corrigé du site.
On applique $(*)$ à $\sqrt{2}$ et $2\sqrt{2}$, on trouve :
$2\sqrt{2}b+a \in \mathbb{Q}$ et $\sqrt{2}b +a \in \mathbb{Q}$.
En faisant la différence on a donc $\sqrt{2}b \in \mathbb{Q}$.

On fait la même chose avec $2\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ et on en déduit que $\sqrt{3}b \in \mathbb{Q}$

En divisant (car $b\neq 0$) on trouve $\sqrt{3/2} \in \mathbb{Q}$ ce qui est absurde.

Bonne journée

Bivalve

Membre

Inscription : 12-01-2023

Messages : 66

Re : Polynômes dans R[X]

Merci pour votre retour !

Dernière modification par Bivalve (13-03-2023 18:30:41)