Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nova06

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Espaces vectoriels

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour une question s'il vous plaît.

Voilà la question : Soit E un espace vectoriel sur R, de dimension finie n>=2 et soit f un endomorphisme de E. On suppose dans cette question que f rond f est l'application nulle. En déduire une relation d'inclusion entre Ker(f) et Im(f). En déduire un majorant de rg(f).

Est-ce que cela marche si je dis que Im(f) est inclus dans Ker(f) en faisant :

Soit y appartient à Im(f). Montrons que y appartient à Ker(f) :

Il existe x appartenant à E tel que f(x)=y.

f(f(x)) = f(y) = 0 appartient à Ker(f).

Donc Im(f) est inclus dans Ker(f).

Et pour trouver un majorant de rg(f) j'ai : dim(Im(f))<=dim(Ker(f)) donc rg(f)<=dim(Ker(f)) mais après je bloque...

Merci d'avance pour votre aide.

Glozi

Invité

Re : Espaces vectoriels

Bonjour,
Ton raisonnement est très bien, juste quand tu écris $f(f(x))=f(y)=0$ appartient à $Ker(f)$, il faudrait plutôt dire $f(f(x))=f(y)=0$, donc $y\in Ker(f)$.
Ensuite, normalement tu as vu un théorème qui  donne une égalité reliant les dimensions de $Im(f)$ de $Ker(f)$ et de $E$ qui pourra t'aider à te débloquer.
(PS: tu pourras aussi te demander si la borne que tu trouves est optimale !)
Bonne journée

Eust_4che

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Messages : 185

Re : Espaces vectoriels

Bonjour,

Le premier point est parfaitement démontré. Pour le second, je suis aussi d'accord. Je pense que c'est simplement ce qui est demandé, tu dois pouvoir d'arrêter là.

E.

Lily29

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Re : Espaces vectoriels

D'accord parfait merci beaucoup pour vos réponses !

J'ai une autre question : on me demande ensuite de justifier que Ker(f) n'est pas égal à {0_E} en supposant que Ker(f)=Im(f).

Dois-je faire un raisonnement similaire en montrant que comme qu'il existe y appartenant à Im(f) tel que f(x)=y et que y appartient aussi à Ker(f) et donc que Ker(f) ne peut pas être égal à {0_E} ?

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

Administrateur

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Re : Espaces vectoriels

Bonjour,

  Non, tu ne peux pas faire comme cela, car comment tu justifies que $y$ n'est pas nul????
Connais-tu le théorème du rang????

Cela dit, si $f\circ f=0$, on a toujours $\ker(f)\neq \{0\}$ sans avoir besoin de supposer que $\textrm{Im}(f)=\ker(f)$....

F.

Nova06

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Re : Espaces vectoriels

Oui je le connais mais je n'y avais pas pensé...

Merci pour votre aide, bonne soirée.