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Vincent62

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Principe du maximum

Bonjour,

Soit U un ouvert de [tex]\mathbb{C}[/tex] contenant [tex]\bar{D(0,1)}[/tex], et soit [tex]f[/tex] une fonction holomorphe sur [tex]U[/tex] telle que [tex]f(0)=1[/tex] et [tex]|f(z)|>1[/tex] pour [tex]|z|=1[/tex].
Je cherche à montrer que [tex]f[/tex] possède au moins un zéro dans [tex]D[/tex].

Pour cela, je suppose que [tex]f[/tex] n'admet aucun zéro dans [tex]D[/tex]. Alors la fonction [tex]z\to \frac{1}{f(z)}[/tex] est holomorphe sur [tex]D[/tex]. Par ailleurs, par hypothèse, [tex]z\to \frac{1}{f(z)}[/tex] n'admet pas de zéro sur [tex]C(0,1)[/tex]. Ainsi, [tex]z\to \frac{1}{f(z)}[/tex] est continue sur le compact [tex]\bar{D}[/tex], et admet donc un maximum [tex]M[/tex] sur [tex]\bar{D}[/tex].
Par le principe du maximum, le maximum de [tex]|\frac{1}{f(z)}|[/tex] sur [tex]\bar{D}[/tex] est atteint sur [tex]C(0,1)[/tex], autrement dit il existe [tex]z_0\in C(0,1)[/tex] tel que [tex]|\frac{1}{f(z_0)}|=M[/tex].

Ainsi, pour tout [tex]z\in \bar{D}, |\frac{1}{f(z)}|<|\frac{1}{f(z_0)}|[/tex], et donc, en particulier, [tex]|\frac{1}{f(0)}|=1<|\frac{1}{f(z_0)}|[/tex]
Or, pour tout [tex]z\in C(0,1)[/tex], [tex]|\frac{1}{f(z_0)}|<1[/tex], d'où la contradiction.

Qu'en pensez-vous ?

Merci

Fred

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Re : Principe du maximum

Bonjour,

  Ca m'a l'air tout à fait correct!

F.

Vincent62

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Re : Principe du maximum

Merci Fred !