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58amina2000

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Topologie

Bonjour, j'ai une question svp
que se passe-t-il dans un espace métrique sans points isolés?
qu'elle est l'influence des ponts isolés sur la topologie de l'espace?

Glozi

Invité

Re : Topologie

Bonsoir,
Je ne suis pas sûr de comprendre ta question ?
Cependant, attention au contre sens : ce ne sont pas les points isolés qui influent sur la topologie de l'espace, mais la topologie qu'on met sur l'espace qui décrète qui seront les points isolés.

Ex : on pose $X=[0,1]$ un segment de la droite réelle.
On introduit deux distances sur $X$ :
$d_1(x,y) = |x-y[$ la distance euclidienne usuelle entre deux points de la droite.
$d_2(x,y) = \mathbb{1}_{x\neq y}$, autrement dit $d_2(x,y)$ vaut $0$ si $x=y$ et vaut $1$ sinon (c'est bien une distance, je te laisse vérifier).

On note $\mathcal{O}_1$ (resp $\mathcal{O}_2$) les topologies sur $X$ induites par la distance $d_1$ (resp $d_2$).
c'est à dire que $\mathcal{O}_j$ est la plus petite topologie contentant toutes les boules ouvertes pour $d_j$ ($j\in \{ 1,2\}$).

Alors il se trouve que dans $(X,d_1)$ il n'y a aucun point isolé, alors que dans $(X,d_2)$ tous les points sont isolés (en fait $\mathcal{O}_2=\mathcal{P}([0,1])$).

En effet, pour le deuxième point si $x\in X$ alors $B_{d_2}(x,1/2) = \{y\in X, d_2(x,y)<1/2\} = \{x\}$ est un ouvert de $\mathcal{O}_2$ (car c'est une boule ouverte) et donc $x$ est isolé.

Bref, en fonction de la topologie que tu mets sur un espace, il va y avoir ou non des points isolés.

Bonne soirée

58amina2000

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Re : Topologie

ah maintenant j'ai bien compris la différence, merci beaucoup pour votre réponse

58amina2000

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Re : Topologie

j'ai posé cette question car je travail avec les systemes dynamiques, alors ils sont des applications continues définient sur un espace métrique , lors de l'étude de tels systèmes ils enlevent a chaque fois les points isolés de l'espace pour cela j'ai posé cette question