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HDylan

Invité

Exercice étude des groupes

Bonjour,
Je suis étudiant en L2 de mathématiques et j'ai accumulé pas mal de retard que j'essaye tant bien que mal à rattraper. Je suis en train de faire le TD1 en Algèbre mais malheureusement je suis déjà bloqué au premier exercice :

Exercice 1 - Soit K un corps. Étant donnée une matrice A ∈ M_n(k) on écrit A = (a_ij)_ij=1,...,n avec a_ij ∈ K.
On considère les ensembles suivants :
T = {A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i ≠ j}
U = {A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i > j et a_ij = 1 }
B = { A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i > j }
B' = { A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i < j }

Montrer les faits suivants :
1) Les sous-ensembles T,B,U,B' sont des sous-groupes de GL_n(K)
2) T = B⋂B'
3) ∀ u ∈ U et b ∈ B on a bub'^-1 ∈ U
4) L'application f : T x U --> B, (t,u) ı--> tu ∈ U est bijective. Est ce que c'est un isomorphisme de groupes ?
5) Écrire explicitement l'inverse de f

Je sais que pour montrer que c'est un sous-groupe, j'ai à montrer que l'ensemble n'est pas vide et que  " ∀ (x,y) ∈ H^2, xy^-1 ∈ H " mais je ne comprends pas comment l'appliquer au cas si-dessus.
Pour le 2 j'ai fait : B⋂B' = {A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i > j et si i < j} = {A∈GL_n(K) : a_ij = 0 si i ≠ j} = T
Le 3 je ne vois pas comment montrer que c'est bien dans U, ça me semble évident que B ⊂ U mais comment le prouver et arriver à la conclusion que bub^-1 ∈ U alors la je ne vois pas.
Le 4 un petit rappel sur comment prouver la bijectivité, je veux bien ?. Et si j'arrive a prouvé que c'est bijectif j'aurais juste à me demander si f(xy) = f(x)f(y) (si c'est bien un morphisme)
Le 5 je n'ai aucune idée pour l'instant.

Je n'ai malheureusement pas la correction de ces TD déjà passée et le prof ne me répond pas donc je ne pourrais pas avoir la correction avant un moment. Si vous pourriez m'aider que je puisse en ressortir une méthodo pour que la prochaine fois que je vois se type d'exercice je puisse le faire sans soucis.
Merci d'avance.

Fred

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Re : Exercice étude des groupes

Bonjour,

  Concernant la question 1), on peut découper en 3 :
* montrer que $T$ n'est pas vide
* montrer que si $A$ est dans $T$, alors $A^{-1}$ est dans $T.$
* montrer que si $A,B$ sont dans $T$, alors $AB$ est dans $T$.
Ces propriétés sont assez simples à démontrer si tu remarques que $T$ est l'ensemble des matrices diagonales (qui sont inversibles).
La dernière propriété revient par exemple à dire que le produit de deux matrices diagonales (inversibles) est une matrice diagonale (inversible).
Tu dois ensuite faire pareil avec $B$, $B'$ et $U.$ Une fois encore, ce sera plus facile d'interpréter ce que tu dois démontrer
si tu visualises les matrices (par exemple en termes de matrices triangulaires....).

F.

Michel Coste

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Re : Exercice étude des groupes

Bonjour,
La définition de U que tu as écrite n'est visiblement pas la bonne.