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eksmok

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Exercice - Analyse Convexe

Bonjour,

Je suis en train de galérer sur un exercice de la matière suivante : Analyse Convexe. (Niveau M1).

Voilà l'énoncé :

Soit I un intervalle
On considère f : I dans R continue.

On pose 1) : f est convexe sur I
2) Pour tout J compact inclus dans I et pour toute fonction affine g : max_{J} (f+g) = max_{frontière de J} (f+g)
3) Pour h appartenant à ]0, dist(x, frontière(I)[ f(x) <= 1/2h* integrale(x-h à x+h) f(t)dt

Montrer que les trois affirmations sont équivalentes.

J'ai voulu montrer que 1) => 2) => 3) =>1)

J'ai réussi à montrer que 1) => 2). Mais j'ai quelques difficultés pour 2) => 3) et 3) => 1).

Mes recherches pour 2) => 3) :
J'ai essayer de montrer l'inégalité terme par terme sans grande finalité, j'ai remarqué que 2h = x + h - x - h, j'ai voulu essayer de raisonner par des taux d'accroissement avec la primitive de f mais encore une fois sans grande réussite.

3) => 1) : j'avoue ne pas avoir encore bien cherché cette implication, mais j'ai tout de même chercher un minimum, je n'ai pas énormément d'idée pour trouver.

Donc voilà mon problème. Je suis à la recherche de piste, et je n'ai pas de correction à disposition, il s'agit de mon premier poste donc si la demande n'est pas appropriée ou qu'il manque quelque chose n'hésitez pas à me le dire.

Dernière modification par eksmok (27-02-2023 11:06:10)

Fred

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Bonjour,

  Ta demande est parfaitement appropriée! Je trouve l'exercice intéressant!
Je n'ai pas beaucoup réfléchi, mais voici une idée pour faire 1) => 3).

Tu fixes $x$ dans $I$ (et pas au bord) et tu sais que $f$ admet une dérivée à droite en $x$. De plus,
on sait que pour tout $t\in I,$ on a $f(t)\geq f_d'(x)(t-x)+f(x).$
L'idée ensuite est d'intégrer (par rapport à $t$) cette inégalité sur l'intervalle $[x-h,x+h].$
Tu devrais obtenir 3).

F.

Fred

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Re-

  J'ai réfléchi un peu depuis tout à l'heure à la preuve de 3)=>1).
Je n'ai pas trouvé quelque chose de très simple, mais voici quand même une solution.

Tu peux d'abord remarquer que si $u$ est une fonction affine, alors $\frac 1{2h}\int_{x-h}^{x+h}u(t)dt=u(x)$ (preuve géométrique par exemple).

Ensuite, on va raisonner par contraposée : on suppose que $f$ n'est pas convexe, et on va prouver que $3)$ est faux.
Puisque $f$ n'est pas convexe, il existe $a<b$ et $t\in ]0,1[$ tel que $f((1-t)a+tb)>(1-t)f(a)+tf(b).$
Soit $t_0\in[0,1]$ tel que $f ( (1-t_0)a+t_0b)- ( (1-t_0)f(a)+t_0f(b) )$ soit maximale. Ce $t_0$ existe par continuité de $f,$
et il est différent de $a$ et $b$. On pose $x=(1-t_0)a+t_0b.$ On peut supposer que $x-a\leq b-x,$ et on pose
1. $h=x-a$
2. $u$ la fonction affine qui passe par $f(a)$ en $a$ et par $f(b)$ en $b$.
Le choix de $x$ nous dit que, pour tout $t$ dans $[a,b]$, $f(t)-u(t)\leq f(x)-u(x)$ et l'inégalité
est même stricte en $a$ et en $b$.
Mais alors :
\begin{align*}
\frac 1{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt&=\frac1{2h}\int_{x-h}^{x+h}\big( f(t)-u(t)\big)dt+u(x)\\
&<f(x)-u(x)+u(x)=f(x)
\end{align*}
par intégration de l'inégalité (qui est stricte en un point, et la fonction est continue...).

Peut-être que quelqu'un aura une solution plus simple, même si celle-ci est assez naturelle.

F.

eksmok

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Oh !
Merci de la réponse, je regarde ça attentivement !

eksmok

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Je ne comprends pas un détail de votre solution, pourquoi l'intégration de l'inégalité fournit une inégalité stricte ?

Fred

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Bonjour,

  On utilise que si $f,g$ sont des fonctions continues vérifiant $f(t)\leq g(t)$ et $f(c)<g(c)$, alors $\int_c^d f(t)dt<\int_c^d g(t)dt.$

F.

eksmok

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Je m'excuse d'avance, mais je n'arrive pas à montrer cela...

Fred

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Re : Exercice - Analyse Convexe

C'est une conséquence immédiate du théorème classique suivant : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.

F.

eksmok

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Re : Exercice - Analyse Convexe

Je vois !
Merci !