Existe-t-il un "produit scalaire" à trois dimensions, à d dimensions ?

Borassus · 14-02-2023 11:37:11

Bonjour,

Mes échanges à propos des formules de polarisation à deux dimensions, puis à trois dimensions — merci, surtout, à Michel Coste ! — m'amènent à poser les questions de curiosité suivantes :

1) Dans la mesure où trois vecteurs non coplanaires de même origine définissent un parallélépipède (rectangle ou non), la notion de produit scalaire peut-elle étendue à trois dimensions ?
Si oui, quelle en serait l'expression de base faisant intervenir soit les deux angles principaux, soit l'angle solide principal ?
(Le produit devait alors être nul si les vecteurs sont orthogonaux deux à deux.)

2) L'existence d'un couple forme d-linéaire symétrique - forme de degré d définit-elle un "d produit scalaire" ?

Merci d'avance de vos réponses.

Glozi · 14-02-2023 16:19:45

Bonjour,
Il existe un produit scalaire en dimension $d\geq 3$. Cependant il s'agit toujours d'une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{R}^d$. Autrement dit, on peut considérer le produit scalaire de deux vecteurs $u$ et $v$ de $\mathbb{R}^d$ et on obtient un scalaire (un nombre réel).
Le produit scalaire usuel (associé à la norme euclidienne) sur $\mathbb{R}^d$ est le suivant :
$$\left<u,v\right> = \sum_{i=1}^d u_i v_i.$$
En revanche si tu cherches des forme $d$-linéaires (des formes qui prennent en entrée $d$ vecteurs), alors la plus connue est sûrement le déterminant qui prend $d$ vecteurs de $\mathbb{R}^d$. Cependant le déterminant est une forme $d$-linéaire antisymétrique.
SI tu cherches du côté des forme $d$-linéaires symétriques, un exemple que tu vas trouvé est un objet appelé le "permanent" https://fr.wikipedia.org/wiki/Permanent … 9matiques).
Alors que le déterminant possède une intuition géométrique (le déterminant de 3 vecteurs de $\mathbb{R}^2$ donne le volume (signé) du parallélépipède délimité par ces vecteurs), il me semble que le permanent n'a pas tant de qualités géométriques, et aussi il est bien plus long à calculé (en complexité algorithmique).

NB : une notion qui pourrait t'intéresser est le produit vectoriel https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel qui peut sûrement te permettre de faire le lien entre déterminant et les angles de ton parallélépipède en dimension 3.

Bonne journée

Michel Coste · 14-02-2023 16:24:28

Bonjour,

Le produit devait alors être nul si les vecteurs sont orthogonaux deux à deux.

Ça ne peut pas marcher pour une raison simple : l'annulation d'une forme trilinéaire, c'est une condition sur un triplet de vecteurs. L'orthogonalité deux à deux, c'est trois conditions.

Borassus · 15-02-2023 09:56:33

Bonjour Michel,

Merci de toutes ces explications !

J'ai cours toute la journée — les mercredis et les samedis sont pour moi traditionnellement chargés — mais je reviendrai sur le sujet ce soir et demain.

Bonne et fructueuse journée.

Borassus · 26-02-2023 11:46:12

Bonjour tout le monde, et en particulier à Michel,

Je réapparais avec un peu de retard.

En écrivant pour mes élèves un cours développé sur le produit scalaire, le produit vectoriel, et le produit mixte, j'ai pu in fine répondre à ma question :
Le produit mixte, faisant intervenir trois vecteurs, est le pendant du produit scalaire, faisant intervenir deux vecteurs :
- Son résultat est un vecteur dont la norme est égale au volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs (le résultat du produit scalaire est un nombre égal à l'aire formée par un des deux vecteurs pivoté de 90° et du projeté du second sur le vecteur initial non pivoté) ;
- il est nul si les trois vecteurs sont coplanaires (le produit scalaire est nul si les deux vecteurs sont orthogonaux) ;
- il est antisymétrique (le produit scalaire est symétrique) ;
- il est trilinéaire (le produit scalaire est bilinéaire) ;
- dans un repère orthonormé, il est égal au déterminant des trois vecteurs (le produit scalaire peut être considéré comme égal au déterminant des vecteurs (x ,y) et (-y',x') ).

Les deux autres caractéristiques du produit mixte n'ont pas, semble-t-il d'équivalent dans le produit scalaire :
- il est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs ;
- il est invariant par interversion du produit vectoriel et du produit scalaire.

Merci pour votre attention, et merci surtout à Michel d'avoir si pertinemment éclairé ma lanterne.
Bon dimanche.

Michel Coste · 26-02-2023 18:57:28

Bof bof bof.
Pas très convaincant, ce que tu écris.
Le produit mixte dans un espace euclidien orienté de dimension 3 est la forme trilinéaire alternée qui vaut 1 sur une b.o.n. directe.
En n'importe quelle dimension finie [tex]n[/tex], il existe une unique forme [tex]n[/tex]-linéaire alternée qui vaut 1 sur une b.o.n. directe. En dimension 2, ce n'est pas le produit scalaire !
Par définition, il existe un produit scalaire sur un espace euclidien de dimension [tex]n[/tex]. Et en dimension 3, ce n'est évidemment pas le produit mixte.

Voir le produit mixte comme pendant du produit scalaire ne fait qu'ajouter de la confusion, à mon sens.

Dernière modification par Michel Coste (26-02-2023 18:58:38)

Borassus · 27-02-2023 18:42:09

Bonjour Michel,

Merci pour ce rectificatif.

J'expliquerai donc à mes élèves — qui, je le rappelle, sont majoritairement des lycéens de Première et de Terminale — les trois produits (scalaire, vectoriel et mixte) en montrant les similitudes entre eux, mais n'expliquerai pas que le produit mixte est en quelque sorte le pendant à trois vecteurs du produit scalaire.
Par contre, je tiens à expliquer ces trois produits de façon à leur donner une vision plus large et plus cohérente que le seul produit scalaire.

Roro · 27-02-2023 21:50:20

Bonsoir,

Je m'imiscie dans cette discussion car je trouve ça assez étonnant de vouloir montrer le produit scalaire et le produit vectoriel en même temps à des élèves de niveau lycée. Le lien entre les deux est très minces, et je pense qu'il serait déjà très intéressant qu'ils comprennent déjà ce qu'est un produit scalaire : ce qu'il mesure dans le plan, qu'il peut être défini dans l'espace, et même sur d'autres "espaces". Et on doit même pouvoir leur expliquer qu'il y a d'autres "produit scalaires" possibles et donc d'autres façons de mesurer, même dans un plan...

Roro.

Borassus · 01-03-2023 19:24:06

Bonsoir Roro (et tout le monde),

Effectivement, il y a de quoi expliquer, en commençant par des aspects concrets, facilement perceptibles par les élèves !
(Excuse-moi, je ne me sens pas pour l'instant expliquer les extensions "philosophiques" que tu proposes. Il faut que préalablement je les maîtrise suffisamment moi-même.)

Cela fait plus de dix ans que je me suis (tardivement) réorienté vers les cours particuliers de maths et ai suivi un grand nombre d'élèves, notamment de 1ère S et Terminale S, et maintenant en spécialité maths, de différents lycées publics et privés. (Avant la réforme Blanquer, je suivais couramment en parallèle une vingtaine d'élèves de 1ère et Terminale, principalement de la section S.)

Je n'ai pas vu une seule fois dans les notes de cours de mes élèves une explication géométrique simple de l'aire mesurée par le produit scalaire (le produit d'une longueur par une autre longueur a bien une dimension d'aire, n'est-il pas ? je n'ai compris de quelle aire il s'agit que tout récemment, grâce à l'article "Produit scalaire" de Wikipédia) ;
je n'ai pas vu une seule fois expliquer de façon claire à quelle situation concrète correspond chacune des formules de polarisation. (Je l'ai compris par moi-même.)

J'ai en outre, avant de répondre, vérifié parmi une quinzaine de manuels de Première et de Terminale de différents éditeurs — j'achète quasi systématiquement les manuels utilisés par mes élèves — ce que j'avais déjà observé : pas un seul ne fournit ces explications de façon explicite.

Comme je l'indiquais dans un de mes posts, le produit scalaire est le sujet qui déroute le plus mes élèves, surtout quand on leur balançait d'emblée comme définition l'une des formules de polarisation. (Heureusement, les manuels correspondant aux programmes 2019-2020 sont revenus aux fondamentaux en donnant la définition correspondant au produit des deux normes et du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.)
Presque à chaque fois, j'ai droit à « Je n'ai rien compris ! ». Ayant progressivement élaboré ma propre façon d'expliquer, j'entends souvent la réaction « C'est tout ?! Mais c'est tout con ! »

C'est pour cela que j'ai besoin d'acquérir par moi-même une compréhension de fond, y compris des nuances, que je puisse transmettre à mes élèves.

Concernant maintenant le fait que j'explique des notions qui sortent du programme, je me rends de plus en plus compte qu'à partir du moment où les élèves comprennent la logique concrète des choses — au-delà donc du flot de formules dont on les abreuve —, ils peuvent tout à fait encaisser des notions, ou des techniques de calcul, qui "ne sont pas de leur âge".
J'expérimente donc de plus en plus, en poussant "le bouchon" de plus en plus loin : je ne me heurte jamais à une incompréhension.
Par exemple, je fais couramment dériver des fonctions composées à six ou sept niveaux d'imbrication — les élèves sont tout étonnés de pouvoir résoudre facilement un exercice semblant monstrueux —, ou calculer des dérivées partielles ou des intégrales doubles ou triples.

Donc, en affinant progressivement mon approche (par exemple, grâce à mes enrichissants échanges avec vous :-), je compte bien poursuivre ma voie et expliquer les autres produits que le produit scalaire de façon à fournir à mes élèves une vision globale de la géométrie vectorielle.

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