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Vincent62

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Loi de probabilité

Bonjour,

Je m'intéresse à la variable alétoire [tex]X : \Omega\to R^+[/tex] dont la loi [tex]P_X[/tex] est donnée par [tex]P_X(\{0,5\})=0,5[/tex], [tex]P_X(\{\frac{2}{3}\})=0,2[/tex] et [tex]P_X(\{2\})=0,3[/tex], et à la partie fractionnaire [tex]F : \Omega \to [0;1[[/tex].
Je cherche à déterminer la loi de [tex]F\circ X[/tex].
J'ai le corrigé, mais je ne le comprends pas.

Déjà, je m'étais posé la question de la nature de [tex]F\circ X : \Omega \to [0;1[[/tex].
Ensuite, si on me demande de déterminer sa loi, c'est que c'est une variable aléatoire, donc j'y reviendrai plus tard.

Il s'agit donc de déterminer [tex]P_{F\circ X}[/tex], sachant que pour tout [tex]A\in B(\mathbb{R})[/tex], [tex]P_{F\circ X}(A)=\{\omega\in \Omega, (F\circ X)(\omega)\in A\}[/tex].
Je remarque aussi que [tex]F\circ X[/tex] ne prend que 3 valeurs, puisque [tex]X[/tex] n'en prend que 3.

Déjà, est-ce que jusqu'à maintenant je ne raconte pas de bêtises ?

Merci !

Glozi

Invité

Re : Loi de probabilité

Bonjour,
Attention j'imagine que c'est plutôt $F : \mathbb{R} \to [0,1[$ pour la partie fractionnaire.
Aussi tu dis que $P_{F\circ X}(A)=\{\omega\in \Omega, (F\circ X)(\omega)\in A\}$ alors que c'est plutôt :
$P_{F\circ X}(A)=\mathbb{P}(\{\omega\in \Omega, (F\circ X)(\omega)\in A\}).$
(où $\mathbb{P}$ est la proba sur ton $\Omega$)

Sinon c'est correct.

PS : petit rappel, si $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ est un espace de proba. Et si $(E, \mathcal{E})$ est un espace mesurable. Alors toute application mesurable $X : (\Omega, \mathcal{A}) \to (E, \mathcal{E})$ est par definition une variable aleatoire. Sa loi est par definition une probabilité $\mathbb{P}_X$ sur l'espace des valeurs $(E, \mathcal{E})$ donnée par $\mathbb{P}_X := X_\star\mathbb{P}$, le push forward (poussé en avant de $\mathbb{P}$ par $X$). C'est à dire $\mathbb{P}_X(A) := \mathbb{P}(X^{-1}(A))$ pour $A\in \mathcal{E}$.

Autre détail, tu dis que $X$ prend seulement trois valeurs, mais en fait c'est plutôt il existe 3 valeurs telles que presque sûrement (pour $\mathbb{P}$) alors $X$ prend l'une de ces 3 valeurs. (la difference est très fine surtout pour ce qu'on va faire avec, mais notamment il pourrait être faux de supposer que $X(\Omega)$ est un ensemble à 3 éléments, vois tu pourquoi ?)

Bonne journée.

Vincent62

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Re : Loi de probabilité

Bonjour Glozi, et merci pour ta réponse.

Ce sont respectivement une typo et un oubli de ma part concernant l'enseble de départ de F et le P manquant. Désolé.
Je réfléchis ta question en fin de post :)

Je continue mon petit bonhomme de chemin dans ma tentative de déterminer la loi de [tex]F\circ X[/tex].

On a par exemple : [tex]P_{F\circ X}(\{\frac{1}{2}\})=P(\{\omega \in \Omega, F(X(\omega))=\frac{1}{2}\})[/tex].

Ainsi, l'ensemble [tex]\{\omega \in \Omega, F(X(\omega))=\frac{1}{2}\}[/tex] est l'ensemble des éléments de [tex]\Omega[/tex] tels que la partie fractionnaire de [tex]X(\omega)\in \mathbb{R}^+[/tex] vaut [tex]0,5[/tex]. Mais si on n'a pas d'informations sur [tex]\Omega[/tex], on ne peut rien conclure, n'est-ce pas ?

Dernière modification par Vincent62 (25-02-2023 18:24:01)

Glozi

Invité

Re : Loi de probabilité

Bonjour,
Exactement, c'est ça la magie et la beauté des probabilités ! La plupart du temps les probabilistes travaillent avec des variables aléatoires qui vivent (sont définies) sur un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})$ dont ils n'ont même pas connaissance. En fait, la seule chose qu'on doit savoir à propos de cet espace sous jacent c'est simplement qu'il existe ! En effet, ce qui nous intéresse sont des observables à savoir des variables aléatoires $X : \Omega \to \mathbb{R}$ (pour une v.a réelle) et on remarque que la loi de $X$ est comme je l'ai dit une probabilité sur l'espace des valeurs (ici $\mathbb{R}$). Ainsi on peut avoir deux v.a définies sur deux espaces de probas différents mais qui ont la même loi !
Ex :
- $\Omega = \{x,y\}, \mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(\{x\}) = \mathbb{P}(\{y\})=1/2$
   et $X : \Omega \to \mathbb{R}, x \mapsto 0, y \mapsto 1$.
- $\Omega = \{w,x,y,z\}, \mathcal{A} =  \mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P}(\{w\})=0, \mathbb{P}(\{x\}) = \mathbb{P}(\{y\})=1/4, \mathbb{P}(\{z\})=1/2$
   et $X : \Omega \to \mathbb{R}, w \mapsto 42, x \mapsto 0, y \mapsto 0, z \mapsto 1$.
- $\Omega = [0,1], \mathcal{A}= \mathcal{B}([0,1]), \mathbb{P}= \lambda_{[0,1]}$  (mesure de Lebesgue)
   et $X : \Omega \to \mathbb{R}, x \mapsto \mathbb{1}_{x\leq 1/2}$.

Dans tous les cas $X$ a pour loi celle d'une Bernoulli de paramètre $1/2$ pourtant les $3$ espaces de proba de départ sont différents.
Si dans un énoncé on dit qu'on se donne une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli, on n'a pas besoin, pour travailler avec, de savoir le $\Omega$ sur lequel elle est définie !

Pour revenir à ton exo tu as en fait 3 variables aléatoires :
-$\omega \in \Omega$ (c'est un abus de notation, tu peux en fait la voir comme l'application identité $id \Omega \to \Omega$
-$X: \Omega \to \mathbb{R}$
-$F: \mathbb{R} \to [0,1]$
Tu n'a aucune information sur la loi de $\omega \in \Omega$ (en gros tu ne sais pas ce que fait $\mathbb{P}$ ni qui est $\Omega$), en revanche tu connais parfaitement la loi de $X$, et donc tu devrais connaitre la loi de tout ce qui s'exprime en fonction de $X$ (en particulier $F(X)$).

Concrètement, je te conseille d'exprimer $\mathbb{P}_{F\circ X}(A)$ comme $\mathbb{P}_X$ d'un certain ensemble.

NB. tu peux essayer de compléter : si $X : \Omega \to \mathbb{R}$ et $F : \mathbb{R}\to [0,1[$, alors on a $\mathbb{P}_X = X_\star \mathbb{P}$ et $\mathbb{P}_{F\circ X} = (F\circ X)_\star \mathbb{P} = ...$ (à la fin on doit avoir le poussé en avant de $\mathbb{P}_X$ par quelque chose).

Bonne journée

Vincent62

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Re : Loi de probabilité

Merci Glozi !
Je réfléchis à la conclusion et je reviens poster.

Vincent62

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Re : Loi de probabilité

Bonjour Glozi,

Je tente en suivant tes explications.
Alors, on a, pour [tex]A\in B(\mathbb{R})[/tex], [tex]\mathbb{P}_{F\circ X}(A)=\mathbb{P}(\{\omega\in \Omega, (F\circ X)(\omega)\in A\}=\mathbb{P}(\{\omega\in \Omega, X(\omega)\in F^{-1}(A)\})=\mathbb{P}(X^{-1}(F^{-1}(A)))=P_X(F^{-1}(A))[/tex].

Or, pour tout [tex]x[/tex] réel, [tex]F(x)=x-u[/tex], où [tex]u[/tex] est la partie entière de [tex]x[/tex]. Ainsi, [tex]x=F(x)+u[/tex] et donc :[tex]\mathbb{P}_{F\circ X}(\{\frac{1}{2}\})=\mathbb{P}_X(F^{-1}(\{\frac{1}{2}\}))=\mathbb{P}_X(\{\frac{1}{2}\})=0,5[/tex].

Qu'en pesnes-tu ? Merci !

Glozi

Invité

Re : Loi de probabilité

Bonjour,
Oui c'est correct, tu as l'air d'avoir bien compris  J'aurais juste précisé que $F^{-1}(1/2) = 1/2 +\mathbb{Z}$ et que vu $P_X$ alors
$P_X( 1/2 +\mathbb{Z}) = P_X(\{1/2\})$.
Bonne journée

Vincent62

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Re : Loi de probabilité

Merci à toi Glozi !