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AkhM

Invité

Exo proba

Bonjour

Jai un souci avec un exo de proba, qqun pourrait maider ?

Voici l'énoncé:

Arnaud propose a Benoit de jouer a un jeu. Dans une enveloppe, Lucile mets x euros, et dans une autre 2x euros. Benoit ne connait pas x. Ils pourront garder le contenu d’une enveloppe.
Benoit ouvre la premiere enveloppe, et voit qu’elle contient 10 euros. Il dit alors a Arnaud:
“La seconde enveloppe contient soit 5 euros, soit 20 euros. Si on change d’enveloppe, on peut donc perdre 5 euros ou gagner 10 euros de plus. Statistiquement il est donc plus rentable que je change d’enveloppe.”
Benoit a t il raison? Sinon, pourquoi a t il tord?

Merci davance

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Bonjour !

Et toi, qu'as-tu déjà fait ou pensé à quoi ?

AkhM

Invité

Re : Exo proba

bonjour

Jaurais dit que benoit a tord car lexperience est equiprobable du coup il a autant de chance de perdre que de gagner donc son affirmation selon laquelle 'statistiquement c 'est plus rentable de changer' ne tiens pas car ça na pas de rapport avec le montant quil peut perdre ou gagner

Mais la c est juste ma logique je nai pas prouvé que benoit a tord

Merci

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Re,

peux-tu calculer son espérance de gain ?

Dernière modification par Bernard-maths (20-02-2023 01:29:41)

AkhM

Invité

Re : Exo proba

pour lenveloppe A il ya 10e

et pour lenveloppe B il peut gagner soit 5e : 50% de chance, soit 20  (50% de chance aussi)
du coup lesperance de B est de : 5*1/2+20*1/2 = 12,5e

cest bizarre comme resultat je pense quil ya une erreur

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Moi je pense pas. Alors ?

AkhM

Invité

Re : Exo proba

mais si il avait tirer dabord la B et quil yavait 20e dans la B
on aurait dit que la A contient soit 10 e soit 40e donc esperance= 10*1/2+40*1/2=25 et donc quil doit choisir la A

et si il yavait 5e dans la dans la B alors la A contient soit 2,5 soit 10 donc esperance de A=1,25+5=6,25

avec ce raisonnement il faut toujours changer denveloppe
ca na pas bcp de sens

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Ici, ça a du sens, parce que on sait qu'il y a la moitié ou le double, donc oui, on est toujours, à priori, gagnant de changer d'enveloppe.

Ca n'a pas beaucoup de sens POUR celui qui propose ...

Dernière modification par Bernard-maths (19-02-2023 18:45:44)

AkhM

Invité

Re : Exo proba

Alors le raisonnement de benoit est juste ?

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Pour moi, oui.

A moins qu'un probabiliste pointu vienne détruire un si bon espoir ... (:-))

Glozi

Invité

Re : Exo proba

Bonsoir,
Je me porte volontaire pour le rôle du probabiliste pointu ! (je plaisante évidemment).
Je propose le petit raisonnement suivant :

Supposons que ce que dit Benoit soit correct, "j'ouvre mon enveloppe je vois un montant $x$ l'autre enveloppe contient ou bien $2x$ ou bien $x/2$ donc si je change alors j'obtiens une espérance de $5x/4 > x$."
Ainsi la stratégie optimale selon Benoit est celle qui consiste à toujours changer son enveloppe.

Un jour Arnaud, convaincu (peut-être persuadé) par le discours de Benoit, reçoit deux enveloppes, il prend la première mais ne l'ouvre même pas car il sait que la stratégie optimale est de changer pour la seconde. Il ouvre alors la deuxième enveloppe et se demande s'il doit alors finalement changer pour la première ...?

Que penser de cela ?

PS : pour celles et ceux que ça intéresse, ce problème porte un nom : le paradoxe des deux enveloppes, vous pouvez regarder la page wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_ … enveloppes quoique cela peut gâcher un peu la réflexion. Je vous conseille d'y aller une fois que vous pensez y avoir bien réfléchi.

Je rajoute quelques pistes que je n'ai pas vu sur la page wikipédia (ou alors présentées différemment) :

▼une piste

Vous ouvrez la première enveloppe et vous voyez 20€, vous en déduisez qu'il y a une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 10€ et une chance sur deux que l'autre enveloppe contienne 40€. Mais qu'est ce qui permet de dire ça exactement ?
Ce que vous savez en voyant un chèque de 20€ c'est que vous êtes dans l'un des deux cas suivants :
1er cas : une enveloppe contient 20€, la seconde 40€.
2eme cas : une enveloppe contient 20€, la seconde 10€.

A priori on ne sait pas du tout si ces deux cas sont équiprobables ou non. En effet, c'est Lucile qui écrit ces chèques, et elle n'a d'ailleurs peut-être pas choisi les montants au hasard ! (du moins j'espère pour son budget !)

En termes plus formels, ce que dit Benoit c'est qu'on a une chance sur deux d'être dans telle ou telle expérience aléatoire, alors que l'expérience aléatoire dans laquelle nous nous trouvons est bien fixée (par Lucile).

▼une deuxième piste

Disons que le butin total des deux enveloppes est la somme du montant des deux enveloppes.
$x+2x=3x$.
Une des enveloppes contient $1/3$ du butin, l'autre contient $2/3$ du butin.
Disons qu'on est gagnant si on obtient $2/3$ du butin.
En ces termes là, est-ce que le raisonnement de Benoit semble toujours fonctionner ?

▼une troisième piste

Je pense que vous pouvez vous amusez, à faire une simulation en python (ou autre) pour comparer plusieurs stratégies :
- prendre toujours la seconde enveloppe
- prendre toujours la première enveloppe
- prendre une des deux enveloppes au hasard

Puis observer ce qui se passe sur un grand nombre de simulations (chaque simulation peut elle même avoir un $x$ et $2x$ avec $x$ aléatoire !)

▼une dernière (?) remarque

Il me semble qu'il y a tout de même une stratégie qui permet d'avoir strictement plus d'une chance sur deux d'avoir la plus grosse enveloppe... Laquelle ?

Bonne soirée

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Merci Glozi ! Pour AkhM, qu'en pense t-il ?

J'avais du mal à dormir, maintenant c'est pire ... ?

Si on change toujours d'enveloppe, on aura 1 fois sur 2 la petite somme et 1 fois sur 2 la grosse somme, ce qui fait qu'en moyenne, on aura la demie somme des deux, qui est supérieure à la petite ! Non ?

Ce raisonnement me parait valable, bien "qu'absurde" CAR on ne paye rien pour participer, RIEN. Ce qui fausse tout pour moi ...

Une simulation sur Excel est tout aussi possible ... pour Python, faut s'accrocher ... (:-))

Bon restant de nuit, Bernard-maths

Glozi

Invité

Re : Exo proba

Bonjour,

Si on change toujours d'enveloppe, on aura 1 fois sur 2 la petite somme et 1 fois sur 2 la grosse somme, ce qui fait qu'en moyenne, on aura la demie somme des deux, qui est supérieure à la petite ! Non ?

En effet si x et 2x sont les montants des deux enveloppes, alors il y a une chance sur deux d'avoir x et une chance sur deux d'avoir 2x, en choisissant la seconde enveloppe.(notons que c'est pareil si on choisit plutôt toujours la première enveloppe). Ainsi en moyenne on obtient 3x/2.
Certes, 3x/2 > x, mais également 3x/2 < 2x, en moyenne on aura la demie somme des deux qui est inferieure à la grande ! (NB : 2x -3x/2 = 3x/2 - x).
(au depart, il y a autant de chance que la première enveloppe contienne x que 2x)

Sinon en terme de gain, si la strategie est de toujours changer, il y a une chance sur deux de passer de 2x à x (on "perd" x), et une chance sur deux de passer de x à 2x (on "gagne" x). Donc en moyenne on ne gagne (et on ne perd) rien a changer.

Le "truc" c'est que x est une inconnue du problème (seule Lucile sait ce que c'est).

Ce raisonnement me parait valable, bien "qu'absurde" CAR on ne paye rien pour participer, RIEN. Ce qui fausse tout pour moi ...

Je n'ai pas compris ta remarque, pourquoi le fait de ne rien payer fausse tout ?

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Bonjour à tous !

Payer un droit de jouer permettrait d'évaluer / hésiter entre un gain ou une perte supplémentaire.

Par ex, payer 12.5 € ...

Mais ce n'est plus le même jeu ...

Bonne journée

Dernière modification par Bernard-maths (20-02-2023 09:33:04)

Glozi

Invité

Re : Exo proba

Bonjour,
Normalement ce n'est pas un problème, on peut formaliser le problème comme suit :
On se donne un $x>0$ (fixé par Lucile).
On considère l'espace de proba suivant :
$\Omega = \{u,v\}$
avec $u=(x,2x)$ (ie $u_1=x$ et $u_2 = 2x$).
et avec $v=(2x,x)$ (ie $v_1=2x$ et $v_2 = x$).
$\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$
et $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0,1]$
la proba équiprobable ie $\mathbb{P}(u) = \mathbb{P}(v) = 1/2$.

Maintenant nous avons l'observable suivant :
$X : \Omega \to \mathbb{R}, \omega \mapsto \omega_1$.
Autrement dit si $\omega \in \{u,v\}$ est une réalisation de l'expérience aléatoire. Alors nous connaissons $X(\omega)$ le montant de la première enveloppe de cette réalisation.

L'objectif est de trouver une stratégie $S : \mathbb{R} \to \{1,2\}$, étant donnée cette stratégie, on choisira l'enveloppe $S(X(\omega))$ et donc notre gain (ce qu'on gagne à la fin) sera : $G:=\omega_{S(X(\omega))}$.
Si on payait quelque chose pour participer au jeu, il faudrait retrancher cette somme à $G$ (ici ce n'est pas le cas).
Ici, dans tous les cas on est gagnant mais on peut être plus gagnant qu'un autre si on trouve la grosse enveloppe au lieu de la petite.

On veut trouver une stratégie $S$ telle que :
$\mathbb{E}[G]$ soit maximale (ici $\mathbb{E}$ désigne l'espérance vis à vis de $\mathbb{P}$).

La stratégie de Benoit consiste à prendre $S : \mathbb{R} \to \{1,2\}, x\mapsto 2$ (on choisit toujours la deuxième enveloppe).
Alors $\mathbb{E}[G] = \mathbb{E}[\omega_2]= \mathbb{P}(v)v_2 + \mathbb{P}(u)u_2 = 3x/2.$

Ce n'est pas mieux que la stratégie qui consiste à toujours garder la première enveloppe par exemple ($S : \mathbb{R} \to \{1,2\}, x\mapsto 1$).

Je ne sais pas si ça t'inspire quelque chose ?

Bonne journée

Bernard-maths

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Re : Exo proba

Bonjour G !

merci pour ces développements ... mais je ne suis pas assez branché sur ce thème ...

Je vois qu'on tourne toujours autour de prendre la 2ème enveloppe, c'est pour cela que je parle d'un enjeu !

Bonne journée

Glozi

Invité

Re : Exo proba

Moi je pense que toujours garder la première enveloppe qu'on a ouverte et bruler la deuxième sans même l'avoir ouverte est en fait tout aussi rentable (en moyenne, c'est à dire sur un grand nombre de répétitions de l'expérience) que de prendre toujours la deuxième enveloppe.
Pour moi ce phénomène se vérifie par le calcul (cf mon précédent message), et se vérifie en pratique (cf simulations excel/python autres...)
La question originale est selon moi de comprendre pourquoi le raisonnement de Benoit, qui prétend que prendre la deuxième enveloppe est plus rentable (strictement), n'est pas correct (j'ai donné certaines pistes dans mon premier message).

Bonne journée